ページ1:

〇円環状電荷分布
a
dL
→←
√x²+a²
半径a[m]の円環に電荷Q[C]が一様に分布
しているとき円環の中心軸上x[m]の点Pの電
位を考える
dL:dQ=2πa:Q
2πadQ=QdL
2πadL [c]
より
電場について
x
dQ=
Q
よって微小電荷dQによる電位dvは
P
dQ
dv=
=
X
dL x
cor
na
√x²+a²
zra
V=
Q
8122800
×
dL
x2+az
Q
47690 √x²+az
dECOSO
dQ
Q
x
=
4722072
X
✓x2+az
znadLX
x²+a²
X
Q
x
・La
E
=
X
X
X
47280
2πa
cata
Qx
4名(x+a)/ [V/m]
[v]
KYOKUTO

ページ2:

半径a[m]の円板に電荷Q[C]が一様に分布しているとき円板の中心軸上
x[m]の点Pの電場、電位を考える電荷密度をの[c/m]とする
dE COS
dE
x
0
a
α
de
ade
do
円の中心からa[m]離れた微小面積dsがP
に及ぼす電位dvを考えると
dsとPの距離はfaz+x2
またdsには微小電荷dQが存在するので
Q [c]
dQ
dV=
[V]
dQ=oadeda [c]
dV
X
47280
σadoda
sa²+x
よって点Pにおける電位は
V
=
Sa San
od
X
dodo
47280
a
二
TE 2π Sod
47280
2πL Sot
47280
· 2πh — [257] a
200 (√x²+a² - x) [V]
dEcos=
de
4.
=
02+22
4πho
adeda
a2+x2
Va2+22
よって点Pにおける電場は
E =
So San
1
.
=
ox
4TE0x272 S
σ a
x
doda
α2+x²
102+x2
do
a²+x² √a²+x²
t=x+x²
ITZ X2TL X Ź sa adt
47280
ox
*** [-]
4780
×
=(1) [vim]
t = x+x²
KYSKUTO

ページ3:

電荷が半径a[m]の球内部に電荷密度e[c/m3]で一様に分布している
とき球内外の電界と電位を考える
r
a
Q=茅πap[c]
Eads = rP/E
Ear³P/E. = 4πY²
re [V/m]
38°
Er=ap/c÷4πr2
Vr=Spacemandr =
ご
ap
Step2 [V/m]
←
ap
3r [V]
球内部 (a>r)
一球外部 (acr
Va = sa redr+ Vr
=
[the]a + Vr
ap
rie
de
=
+
680 680 30
www
30-2)
= P
68.
[V]
Vr
Sasenradr = 3E0
ae
E
1
0
a
a

ページ4:

演習問題
1.1 真空中で -2 × 10-8 Cと3×10-8 Cの点電荷が5cm 離れて置かれているとき,電荷
間にはたらくクーロン力を求めよ.
1.2 二つの点電荷が,真空中にある間隔で置かれているときのクーロン力が5.4×10-2Nの
大きさであった.間隔が2倍,10倍になったときのクーロン力はそれぞれいくらか.
1.3 等量異符号の二つの点電荷が10cmの距離にあるとき,その間にはたらく静電吸引力が
0.9 N であった. それぞれの電気量を求めよ.
1.42 個の電子の間にはたらくクーロン力と万有引力との比を求めよ.ただし,電子の電
荷は −1.60 × 10-19 C, その質量は 9.11 × 10-31 kg であり,万有引力定数は 6.67 x
10-11 N.m2.kg-2 である.
1.5 問図 1.1 に示すように、3個の電荷 Q1 Q2. Q3 [C] が間隔 a [m] および 2a [m] で一
直線上に並んでいるとき,各点電荷にはたらく力を求めよ.ただし,図の右向きの力を
正とする.
Q1
Q3
a
2a
問図 1.1

ページ5:

-8
2X10X 3XID
F = 4/1/20
0.052
= 2.158 × 103
2.16×103Nの吸引力
1.2
間隔が2倍のとき
間隔4倍のとき
F =
5.4×102
22
= 0.0135 N
5.4×102
F =
10
= 5.4 × 104 N
1.3
0.9=
X
47180
0.12
Q2=0.9×0.12×4πと。
€7.001× 10-12
Q = 1.0005 × 10th [C]
Q₁ = |×10th [C] @₂ = -1 × 100 [C]
1.4 F = -47160 x (1.60 × 10-14) 2 x
定数
F= 6.67 × 10" x (9.11 X 10" x
= 5.5 X 10"
2
-28
-2.3 X 10
42.
F/F = 4.18 X 104:

ページ6:

1.5
(0102 +
Fai = -4780
9
41. (10, +0.)
②(9Q2+Q3)
367280A2
@ 3
(3a)2
N
#
Fo₂
=
23
47180
a²
(za)²
02
401-03)
47180
4a²
62 (401-03)
16πE.a" N
FQ3 = 03/0
+
4πE
(3a)2
(20)2
②3
407902
47280
3692
@3 (401902)
1447892
N

ページ7:

+
+
+
a+
+
+
内球のみに+Q[C]与えた場合
外球の電気量の総和=0
(1) r>cの電場、電位
C
b
(2)にCにおける電位Ve:
ES=
00
Eo
V=SEdr = [V]
Q
ATLE
Vc=toc [V]=Vb
(3) a<r<bにおける電場、電位
E'==[V/m]
4Eorz [v/m]
r>Cのときと同じ
Q
4
r
(F-5 + =—==) [V]
V'=(SPE'dr)+Vc=
(4) r=a l=f173 37112
Va=(S&E'dr)+Vc=(2-1+1/2)[v]
= for2 [V/m]

ページ8:

2個の同心導体球について
内球の半径がa[m]、外球の内半径、外半径をB,C [m]とし
肉球導体に電荷Q,[C]、外導体にQ,[C]与えられている
+
+
+
+
No.
E
内球表面における電気量の総量はQi[c]
1外球内側表面
は-Q,[C]
+
{外球表面における電気量の総量を考える
Q2=Q2+Q.2円
ここでQ2円=-Q,[C]である
である
Q2外=Q2+Q,
+
外導体球の外部の位置r[m](r>c)における電場、電位を考える
E =
Qi+Q2
E.ds
Q.+Q2
=
gori [V/m]
V = S Edr=
Q1+Q2
4722-Y
[V]
となる
またrc[m]における電位はVc=IEC
←
・外球の電位(b≦rsc
acr<b における電場、電位
Eab=ar[vim]
r=a[m]における電位
Vs = SoEdr+Ve
V6
Q
=(1/一計+1)+nic [v]
ATLEC
Vab=
SpEdr+Vc
=[+Ve
=(-1)+
Q1+Q2
ALE.C
Q.
等電位)
Q2
4。(1-1+1/2)+ 47 [V]

ページ9:

演習問題
7
1.6 一辺の長さが a [m] の正三角形の頂点 A,B,C に,それぞれ Q1 Q2,-Q2 [C] の点
電荷があるとき,頂点Aの点電荷にはたらく力を求めよ.
1.7
[C] -Q [C] の点電荷が距離r [m] 離れて存在する.4Q [C] の
点A.BにそれぞれQ
第3の電荷をどこに置いたとき,点Bの電荷にはたらく力がゼロとなるか.その位置を
求めよ.
1.8 電荷 Q [C]. 質量m[kg] をもつ2個の粒子が,それぞれ長さl [m] の重さが無視でき
る軽い絶縁糸で,同一の点からつるされている. 糸と鉛直方向とのなす角を0としたと
きつぎの関係が成り立つことを証明せよ.
16msomgl?sin30=Q2cos0
1.9 正方形の各頂点に等量同符号の点電荷がある. 正方形の中心に有限な電気量をもつ任意
の点電荷を置いたとき,これにはたらく力がゼロとなることを示せ.

ページ10:

1.6
a
Q
a
Q
a
Fa₁ = $210 Cos² / 4 × 2
.X 2.02
a²
3
2
-Q2
2
4 π Ea² [N]
(右向きに)
H
1.7
€
AR
r
x
Fai
F-82
r
2
= k
六二
4
x2
r2=x2
402
x2
x=2r[m]
4Q

ページ11:

○無限長線電荷
+
+
+
1
+
E
無限長の直線に単位長さ当たり8[c/m]
の電荷を与えた場合、垂直な距離[m]
の点Pの電場、電位を考える
まず直線を中心とした半径r[m]の円筒を
閉曲面と考えがウスの法則を適用すると
Qall
ES=
が成り立つ
+
+
ここでS=2匹rL(L=∞)、all
BLより
E=27tr[v/m]
V=SmEdr=sp/dr=(no-Inr) [v]
a
rに関係なく8
垂直な距離ri、12[m] (riㄑ12)としたに対するrの電圧を考える
V'=rEdr = In岳[V]
ZTE

ページ12:

No.
長さしの細い直線導体に総量Q [C] の電荷が一様に分布している
この導体の中点からの垂直距離がa[m]の点の電位と電界を考える
A
て
x
0
17
a
D
dEo
P
2点A.Bの微小長さdxの電荷dQ
が垂直距離a[m]における
点Pに作る電場をdEo、合成電場
をdEとする
し
2
x
dE
dEo
18
B
dx
ここでdQは
Q:L=dQ
dx
より
dQ=qdx
と表せる
まずdxが作る微小電位dvを考え電位Vを求める
V=Xと表せるのでdV=X20
点電荷の作る電位は
1. V = 250 x x x x
Q
x+a
27LE.L
Q
=
27LEL
[in(x+x+a)] =
=in{1/1/++α)/a}=in{{L++4a)/2a} [V]
○電場Eを求める
dxが作る合成電場dEは
Q
472E0 L(x+a²)
dE=2dEocos日である
ここでx=atano なので
dx=costedθと置換できる
a
dEo=
またでこなし〆
Coste
=
a²
→dEo=
×
47280
adoとなる
dE=2dEoCOS日より dE=COSAdDとなり、長さ/の時日=とすれば
62
E=
・Cosdo
Q
ZIEL sino sin 6 =
√a²+(3)
+40²
E
"2πLE. A JE² + 40+ [V/m] KU
KKUTO

ページ13:

2.1
F=qEより
1.5×105 = 107 E
2.2
(1) E = Aπt × 0.012
4780
· E = 150 [v/m]
106
= 8.99 X 10" [V/m]
(2) E = X
10-
4匹と。
= 2.25 × 105 [V/m]
(3)E=4と
0.2
-6
X = 999.1 [V/m]
3
2.3
2.4
IV
W=qV より
W = ex1 = 1.6 × 10-19 [J]
[V]V
1/2m2=qVが成り立つ
-31
-19
m=91x10e = 1.6×10 ₤1)
ひ=
√2727478V
= 1.88 × 10" [m/s]

ページ14:

○外球のみに+Qの電荷を与えた場合
HD-
acrㄑbにおいて電界はない 内球に静電誘動は生じない
図の様に外球の任意の場所に
位置する④電荷とその対照(反対側)
に位置する電荷が放つ電気力線
を描けば電界が相殺されてると
考えれる。
acr<bのとき
E=0
r>Cのとき
ErS =====
Er= store [V/m]
Vr=ffer[V]"
#
4
V=SeEdr+So Erdr=4coc [V]
0
raのとき
V=4800[V]
○電磁気学演習P17.18

ページ15:

○極板間の電場、電位
A
B
0
d
d
x
物体を挿入前のコンデンサの電気容量を C[F]
としたとき 金属板、及び誘電体(比誘電率2)
を挿入しスイッチSを閉じて十分に時間をおいた
後の極板間A.Bの電場、電位を考える
①金属板を挿入した場合
→極板間隔が小さくなる(CC)と考えれる
より
合成容量
C' = 2C [F]
m
S
d→
次に
となる(別c= =2C[F])
4×4
等価回路、及び
4C
4C
Vx
V
電荷分布は
また金属内の電場は0より金属内は等電位
金属内の電位をVxとおくと電荷保存則より0=4C(V2-0)+4C(V-V)
V2=1/2/V
②誘電体(&r=2)を挿入した場合
等価回路、及び
電荷分布は
D
電気容量を持つコンデンサが直列接続された
+
-
+
となる
4C
4C
0
Vy
Vx
++
4c
4C
C = C [F]
誘電体の接続部分の電位をVx.Vy とする
電荷保存則より
0=4C(Vx-V)+4C(Vx-Vy)
=2Vx-V-Vy
0=4C(Vy-D)+4C(Vy-Vx)
4 電位[V]
(2)
□V=2Vx-Vy
0=-Vx+2Vy
(a)
(⑤
②⑥よりVx=/VVy=1/12V
誘電体の電圧は12V(Vx-Vy)[V]
より誘電体内の電湯は
E=1/31/[Vm]
2V/3
4/2-
V/3
-> X [m]
C
4/4
30/4 d
となる
marrnary