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QFT-1
場の量子論
●非相対論的場の量子論
Schrödingere.q.
i read = F(x, x) = { - 2 m + Vers 47 (+50) - 0
2m
に従う場7(t,g)を力学変数として量子化する
M(t,x)は複素場である。
①
変分原理を用いて①を導く作用積分は
S = { d'x 1
であり Lagrungionは
2
L = ix (+x) 37 (t, x) - 7" (t, x) H7 (t, x)
である。ただし、Hi-m+V(100)
2
>場の解析力学から、f(t)と正準共役な場下(ts)は
L
爪(+,x)=3/07)
if (t, x)
で定義される。

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量子力学の正準量子化を参考にして、場水と下に
I
[f(t, x), π (t, y)] = id" (x-1)
[f(t, x), 7(x,y)] = 0, [π(t, x), π (t, y)] = 0
の条件を課す(ただし、フェルミオンには適用できない)
場の性質を考えるために、①の一般解
(1,3)=Iay(t) 41(20)
を考える。ここで、9(20)はHの固有関数で、
HP2(20)=Ex(0)
なる固有値方程式を満たし、正規直交関係を成す
つまり
(dpi()() Or
drs, 54641181 = (1-8)
である

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さて、大(t,b)は
爪(+20)=Iian(1)(2)
のように展開できる。
+
展開係数 arcastについて、次の交換関係を
満たすと言える
[ay(t), as (t)]=drs
[an),ar(t)] = 0, [as(t)、a^(t)]=0
さらに、Hamiltonian Hsiela は
Or(t) = areifre
Hsield = {dise net Hot
と表される。
Farar
ar(t) = aieist を用いて
ここで、量子力学の調和振動子の結果
[aa] H (a'a + =) w
= 1 =
と比較すると、量子場(t,7)で記述される系は
状態とでlabelされた無限個の調和振動子の
集団と等価であることが分かる

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さらに、Hfield=Erararで記述できる系で、
arはエネルギーEレの粒子を消す、消滅演算子
aiはエネルギーErの粒子を生み出す生成演算子と
解釈できる
調和振動子の固有値 Ex=(n+1)wと固有状態>=1010>
を参考にして、Hield=Eraiarに関する固有値方程式
Hfield In₁, n₂, " > = E|M₁, M.,...>
の解として
nr
E-IE,,, Inn -π1 (0;)" \0)
(2)10>
が得られる。ただし、neはNr=ajarの固有値
また、In,n)は、エネルギーの値がE.の粒子が、個
E2の粒子がん2個、 であることを表す。
10>は、糸のエネルギーが最小(真空)を表し、
が成り立つ
a₂107=0

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Schrödinger描像では、物理状態14())は
(1)Haml(t)
②
に従って時間発展する
14(+)>を展開すると
19(t)>
00
191+1) = f (dx, dr. V (t, x, alla, a) -③
N=0
であり1カップ・フックは場の演算子)(k=1.2...N)を
用いて
xxx
は
+
| x, x n ) = √ / Via Via riam) 10>
のように定義される。
WN!
ここで、③を②に代入して
a
at 1 (t, x,;;, x) = HN 1 (t, x,, ..., An)
を得る.ただし
H^
H₁ = 1 (-
2
+
2m
Vian)
である
つまり、互いに相互作用しないN個の同種粒子を
含む系で、Mit、20mm)はN個の粒子を記述する
波動関数であると考えることができる。

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Date
フェルミオン
フェルミオンの特徴は、同時に同じ状態に
存在することができないというPauliの排他律に従う
ことである。そのため、ボソンとは異なる方法で
量子化しなければならない
まず、フェルミオンの場の一般解を
M(t,x)=Cr(t) Pr(2) (t,20)= Fict(t)4/1(土)
(火)
として、量子化条件(同時刻反交換関係)
{7 (t, x), π(t, x) } = 10 ( 2 - 81
{T(5),(5)}=
hex) {TRA), TH, 219-0
{(0)7(8)}=0
を課す.
このとき Cr(t),Cr(t)は演算子で
ご
{creed, ciles y = √rs
Cr(t)
{cr(t), crets }=0, {cs(); C = (1) } = 0
なる関係をもつ

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Hamiltonian は
Hield = (7" (t,α) H 7 (t, x) d'x
=Σ E₁ C + Cr
で与えられる
= >
Jet How In..n.. > En..n., NAEL:
固有値方程式 Hicbl
thr
E = Σ E, nr, In₁, n.." -> = πT ( ^ 107
E=IEinr
であり、nrはNr=CiCrの固有値で0または1
10>は粒子が存在しない状態を表し
を満たす
42107=0