ページ1:

No.
DATE.
數與式
複數
正整數(自然數)N
-整數Z
有理數 Q
負整數
無理數不循環的無限小數)
·實數R (可以表示成分數) 有限無限小數
4 虛數atbà
·算幾不等式
次
三
a+b Jab
=
乘法公式
(1) catb)= a² + zab+b
①a.b為非負實數
△有理的十一大季皆為有理
②等號成立條件: a=b
2
(2) (a-b)²= azab +b²
(3) a-b² = (a+b) (a+b)
(4) (a+b+c) = a+b² + C² + zab + zbc + 2 ac
3
-(1) (a+b)³ = a² + 3a²b+3ab² +b³
(2)(a-b))=a3-3a²b+3ab²+b3
=12 (3) a³+b² = (a+b) (a² ab+b²)
(4) ²-b² = (a-b) (a²+ab+b²)
·分點公式
:
ex. PA PB = m=n.
P
B
P
D=mB+nA
.不等式
mth
+
A
h-m
B
口訣:大於在兩邊,小於夾中間
①
= (x = k > x=x-
②
1x/≤k -k≤x≤K
NAN PAO

ページ2:

多項式函數
二次函數恆正、恆負
恆正
:
a > A D <O
恆負
:
aco D<O
奇偶函數
對稱
偶函數y軸(x=0)
特性
ex.
f(-x)=f(x)
奇函數
原點(x=y)
f(-x)=-f(x)
No.
DATE.
·餘式定理
f(x) = (ax-b) 67 h l = f(1) Z> f(x) = (a+b) q₁x) +
1 (
整係數一次因式檢查法(牛頓定理)
t
f(x) = Anxh + Guy x^-1
若ax-b是f(x)的因式
+ a.x+Go是一整係數n
次多項式
則a 為最高次係數an的因式
常数項因數
=>
"
最高係數因數
b為常數項a。的因式
一插值多項式(拉格朗日)
ex.
已知三點
(a,b) (c.d) (e.f) 求二次方程式
f(x)=b.
(x-c) (x-e)
(a-c) (a-e)
+ d. (x-a) (x-2) + f (x-a)(x-c)
△h點求(n-1)次方程式
(c-a)(c-e)
(e-a)(e-c).

ページ3:

(1)
複數女
i = √1
(2)
i |
atbà的共軛複數a-bi
·虛根必成對
若A+bi為f(x)的一根
則 a-bin必也為 f(x)的根
△實係數奇次方程式至少有一實根
·勘根定理
No.
DATE.
a.b之間至少有一實根
f(x)為一實係數方程式
a.b為兩相異實根
f(a). f(b) < O(異號)
則
fla) f(b) >0 (13) 5/12)
△實根
→與x軸的交點
解不等式
D
<
A
不保證一定有實根
Q3.5.7.....個交奌
→必有
△虛根沒有呈現在函數圖形上
配方法
―
所有實數解
or
無實教解
2
fix) 70
gix)
f(x)
20
→
A
fix). glx) 20
fix)-g(x) <o
91x)
NAN PAO

ページ4:

斜率 m
m=
x
No.
DATE.
袋
係
45°
=
X
水平20.
→平移.
y=ax²向上
向下
向左
向右
y=ax+b
y=ax²-b
y=a(x+b)
y=alx-b)"
→二次方程式 ax²+bx+c=0
-b±√ b²-44c
公式解
24
判別式D = b²-4ac
♡020
→
兩相異實根
②
Dzo
D<O
根與係數
ax² + bx + c = 0
→ 重根(兩相等實根)
-
兩共軛虛根
△n次式就會有個根
x+ B = -h
XB =
C
a
-ax³ + bx² + cx + d = o
x+b+8=-1/2 α3 + 38+α = ~ -
a
app = = d
NAN PAO

ページ5:

指數與對數
指數
a
ama"
-h
n次方
分母
=> a' 開次
= a'
mth
No.
DATE.
(a) = amm
adb = (ab)”
a=1
=
a
=
man
·指數函數y=a*(a20,a≠1)
①
a21
遞增函數
204441
遞減數!
圖形永遠在X軸上方 4220.
(0,1)
(0,1)
1.所有指數必過10,1)
2. y=x與y=(六)*→底數互為倒數必對稱於
| y=ax
y= -ax
ya-x
=12x
y= a1x1
y=-ax
y=a-1x
NAN PAO

ページ6:

lag 2=0.301
log 7=0.8451
No.
log 3 = 0.4771
對數
locab fare aal broj
laga!
= 0
h
A²=1
laga bo = | lyg
連鎖律
m
DATE.
r
legar + laga 5 = lugars legar - lega's = loga" }=
legeb
begab = The a
Dig a ly ba
"legate x began a legend. = ligad
·對數函數
yo ligat
algab = b
P
a&i
(11,0)
11,0)
1.所有對數必過(1,0)
2.
對稱x=y
Y = loga X 2 Y = log + X # #
y = a *
yolgat
首数
leg
a 首款為h (h20)
則n的整數部分為nt1位
lg a $2 n (h>0).
則a為純小數
(小數點後第八位開始
不為。
NAN DA

ページ7:

兩點距離公式
(ab) (c.d)
(a-c)² + (b-d)"
兩點求直線方程式(a,b) (c.d)
(d-b)x + (a-c) y = 1
代點求
Max. min.
1.配方法 2. Atb ≤ab
3. 線性規劃
No.
DATE.
4. (a+b) (c²+d²) > (ac+bd)² 5. _Nato' = asing + bcos & = Na+ b²
NAN PAO

ページ8:

數列與級數
·等差數列
An = A₁ + ch-1) xd.
等比数列
An =A1-2h-1
三數等差:中間=前+後
三數等比:中間=前後.
No.
DATE.
· 等差級數
Sn =
(G₁+ Anth
2
·等比級數
•
$14
E.
K-1
K
aill-1")-
1-r
h(ht)
Al
K(k+1) = hin+1)04+2)
h
Σk²
K=1
n
A₁ (r"-1)
h(h+1)(2n+1)
ZK(k+1)(k+2)
-+k+(k+1) (k+2) =
3
K=
K=1
h(n+1)(h+2)(n+3)
4.
=
2
NAN PAO

ページ9:

No.
DATE.
排列、組合.
·笛摩根定理
(ANB)' = A'UB
(AUB)'= A'n B'
.取捨原理
.
交集^
4654J
n(AUB) = h (A) + n (B) - n (AnB)
nl Au Bu C ) = h (A) + n (B) + n (c) -n (AAB) - h (BAC) -n (CNA)
·加法、悉流原理
排列
有順序
+h(A^B^C)
→一個工作有K步驟,每個步驟的方法数相乘,
→將個不同事物排成一列,有種排法.
→種不同事物選k種排成一列:
n
h!
ch-k)!
PK = # = CK.K!
m! -n!
→m個相同的升,一個相同的B排列: (m+n)!
相同物的排列
→h種不同的事物,任選個排一列:未粒
重複排列
·組合
可重複出現
→2個不同事物,取k個為一組,CN=F(n)=Chk
→巴斯卡定理:C++Ch
-
=
mtn-
H₁ = Hm = C²n
CR
2> 口訣:上同+1,下選大
→ h + & k tis]
X+X+ -- +Xn = K
.二項式定理.
(x+y)" - Chxy" + C"αght+
一篇上項係數CH
> 家裡未來在上.
+ Cixy² + C²X² = 2"
Ck
NAN PAO

ページ10:

機率
No.
DATE.
- 互斥事件
.
A^ B - P (245)
古典機率
→每個樣本機會相等,視每個樣本為相異物
2. 算機率時要把同色的球看成不同色的球才能算機率
性質
PLAUB)=P(A)+P(B)-P(AAB).
if P(A). P(B) 2 4 2.) PLA ~13) = P(A) + P(B).
條件機率
P(B|A): P(BAA)
.獨立事件
P(A)
-n(A~B)
=
LA)
P(A∩B)=P(A). P(B)
交集。相乘
fA、B為獨立事件
則(A、B)、(A,B')、(A'B')皆為獨立事件

ページ11:

數據分析
變異數 52
"
標準差
:
(²-x)
=
(x^² - Mx²)
原數據的變化.
LER Y =
My = aμx +b
Gy = 1a/6x
·標準化
Zx = xx - 1
X-M
·相關係數 r
+ =
1 = ax+b
No.
DATE.
M:算數平均數.
標準化後的M:
= O
<=1
(Xi-My) (Yi-My)
√(Ki- Mx)" ] && (Yi - My)²
- 50 51
+
不受單位影響,顯現兩變數之間的線性關係
r(ax+b, cY+d) = a qv(x, y)
迴歸直線
Taqr(x,y) ⇒ a.c同號 r舊=r新a.c異號 r新二-舊
(y- My) = m (X-Mx)
M= r. Sy ₤1 XAM²) (Ya-My) - 3 X₁-Yi - MaMy
=
-
Mx
≤ x ² - n Mx²
by
<x
(x-x)"
MY & INx My )
△相關係數太小,不適合用直線方程式
NAN PAO

ページ12:

直線
點斜式
Y-Yo = m (x-xo)
· 性質
若L1、L2互相垂直< 則mm2: -|
· M₁ M₂ =
線性規劃.
x+y > T
No.
DATE.
M2=-|\
545°
x+y < 1.
⇒線性規劃的不等式
x+y=1
1.通常都一定有x20vy201:視條件寫)
2.
.記得要寫xy的範圍
=
-ex
ayR
x.YER x.y
v
xy為整報
NAN PAO

ページ13:

平面向量
·向量基本觀念
向量相等。 長度相等,方向相同
零向量:大小為。,可視為任意方向
1
a+b
110
A
+
=
向量平行:
二姑則云估
No.
DATE.
B
AB = CB - CA
B
方向向量←文(a,b)→
A
向量分點公式:
0
·直線的參數式
16
x o A + y
①xty=1
80
h
(X = mm y = min)
mth
→ P奌在雅上
△
@ x+y < 1 > P & te o im
④x+y>|
→ P奌在△外
放量文
則直線L上任一點Sx=xofat
y: yo+bt
Alxoyul
內積
a·5 = /a/15/ cose
(長度×长度xcose)
=(xix2+yyz)
⇒內積性質
aa = 1a1
a⋅ b = 5.a
⇒平行四邊形定理
D
AC² + BD ²
=
2 \ AB² + AP² )
A
B
NAN PAO

ページ14:

向量垂直 若成古垂直↔則ㄊ.6=0
·方向向量&法向量
No.
DATE.
(六)
(六)
L= ax + by +c=0.
n = (a+b)
J = (b₁-a)
交換一個加负號.
- 夾角
法同量亣
兩直線法向量的夾角
154
·點到直線距離
即L1、L2的一交角
-P(x,yo) L= ax+by+c=
d=
Laxot by o+cl
兩平行線距離
L₁ = ax+by+C₁ =0
L2 = ax+by+Cz∞ d=
[C₁ - C₂ |
Na²+b=
·柯西不等式
2
( X ₁ + Y ₁² ) ( X x² + Y ₁ ) ≥ (X₁X = + Y₁yz)²
2
等號成立於二
.
正射影
在右上
不
亡
"
古
NAN PAO

ページ15:

·行列式
ab
[a b] |
d
二
b.
ac
85 行列互换,其值不愛
a ka
ckc
= 0
成比例,其值為。
·平行四邊形面積公式
u = (a, b) √ = (c,d)
平行四边形面積
△
la bl.
1
1
C
No.
DATE.
NAN PAO

ページ16:

No.
DATE.
矩陣
ex.
14
740
[]
係數積
ab
→ 3×2階矩陣
2 [台]=[
def
矩陣乘法
29 zb zc
zd ze zf.
(矩陣→乘全部、行列式→乘1行or(列)
(K+S)A= KA+SA
(rs) A = r(SA)
☆矩陣乘法並不滿足交換率
矩
2矩陣A與B都不是零矩陣時,其乘積仍有可能是零矩陣
3. 矩陣乘法不满足消去率
AB = AC A≠零矩陣時B不一定=C
4. (AB)C=A(BC) ≠ ALCB) △顺序不能換
5.(A+B)(A+B)=(A+B)=A+AB+BA+B²
6. (AB) = ABAB
單位矩陣工
2=
1= ['i]
(就像的概念)
A1n = In A = A
轉移矩陣
A[台]
.
反方陣 A+
A = [a b]
1. a+b=1,c+d=1⇒ 應用長時間下AX=X
2.每一元20
d-b
A = = [ i α ]]
det A
det Ai-aid-be
=> if A. B 13 13 4E3*
① det A = 沒有反方陣
二○
→不是每一個方便部有反方障
② (A)+= A @ CABj'=B' A1.
NAN PAO

ページ17:

No.
DATE.
機率與統計
·期望值E(x)=M
X X X 2 X 3
PP, PzPb-
Pn
E(x) = x. P₁ + X = P² + --- Xx Pn
.變異數var(x)、標準差
Var(x) = (X₁-M) - P₁ + (X2-M)² - P₂ +
=
113
+ (Xn-M) - P₂
E[(x-M)²] =E(X²) - M² = E(X²)-[E(x)]²
x = √ Var (x)
·性質
E(ax+b)=aE(x)+b
:
Var (ax+b) a² Var(x)
<(ax+b) = |a| 5(x)
二項分布
一伯努利實驗
→只有兩種可能的結果「成功」、「失敗」-P
→重複做(獨立的重覆試驗)
性質
n
→做的次,x表成功次权,几次中成功k次的機率
P(X=k) = Ckp*(1-p)ht
稱為:參數是(hp)的二項分布,x~B(hp)表示
1. Eix)= up-
2. Van(x)=npLI-P)
3. <(x) = ~mp (1-p)
NAN PAO

ページ18:

·常態分布.
MJ - M-4 M MAG NAZS μ+35
68%
95%
No.
DATE.
99.7%
Y表示成功的(比率 Y=++
性質
7 ,成功次款.
Van(x) = Pli-p)
P(1-P)
Y17 (1x) = P
61x)=
N h
⇒ 959%信心水準下得到的信賴區間
[P = 2; J
-P(1-5)
h
P11-82
P + 2
2
,
→真正為P,抽樣為分
故並非抽樣一定落在真正裡
再做一次抽樣 f住往會不一樣
△信心水準不是機率(所有有扯到機率的卻錯)
※95%信心水準的意思為
有95%的信心會落在抽樣的信賴區間內
(不一定落在裡面)
NAN PAO

ページ19:

極限與函數
收斂:最後那個數趨近於一個值
無窮數列<r">
.
收斂條件
: <r
無窮等比級數和
1. | <r<l (rto) => Sn =
-ar
T-H
Z.
"
√ ≤ -1 √ 121
✓
⇒發散.
f fix
hint: ①找大的除(最大²orx")
No.
DATE.
②分母有的分子沒n 必收斂至。
☆④分子的day必分母
-
例外:發一發 =收外發
or
解題時要合併通分
.
夾擠定理
An ≤ Cu ≤ bn
un
lian = lim bn = LA SC - L
AJ Cn
求可能要用到的公式
=
-
=
h(ht))
h
h+1
h (h+2)
Σh=
數列:1、2、3、4、5
級數
=1+2+3+4+5
-h(h+1)(2h+1).
2
6
(六一市) (六一市)
hchts)
NAN PAO