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n進法お願いします!

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このノートについて

らいち

らいち

126、128ともに進数の問題ですが、新法の解き方が、いまいちわかっていません、お願いします!

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コメント

佑紀
佑紀

まず、334(5)の意味を考えてみます。
334(5)とは、「(5^2が3個)+(5^1が3個)+(5^0が4個)」という数を表しています。
これを10進法で表すことを考えます。
5^2が3個→3×25=75
5^1が3個→3×5=15
5^0が4個→1×4=4
これらを足して、94(10)

佑紀
佑紀

次に、この94(10)を4進法で表します。
初めに1の位を決めます。
ここで、1の位にはどんな数が入るのか、まずは10進法で考えてみます。10進法で「94」という数があった場合、これは、「10が9個+4」つまり「(9×10)+4」という意味ですよね。

佑紀
佑紀

ここで、1の位の4は、「10で割った時の余り」と言えます。

もっと大きな数にしてみましょう。
12345という数は、(1234×10)+5といえます。つまり、上の4つの桁は10で割り切れるのに、1の位だけは余りとして出てきます。なぜなら、例えば10の位は「10が1〜9個ある」ってことなので、絶対に10の倍数だからです。

佑紀
佑紀

これを見ると、4進法で表したいなら、1番小さい位は94を4で割った余りということになります。

もう理解してたら同じ話でめんどくさいかもなので、飛ばしてもいいんですが、例えば、4進法で123と書いてあったとしましょう。
これは、(4^2×1)+(4×2)+(3)ってことですよね。そのうち上の2つの桁は、4で割り切れますよね。なので、1番下の桁の数字がちゃんと余りとしてでてきます。

佑紀
佑紀

あ、これを始めに言えばよかったかもしれないんですが、やりたいことは、94を
(4^2×○)+(4^1×△)+(4^0×□)
みたいな形で表すってことです。
(1)を逆にたどるって感じです。

佑紀
佑紀

さっそくやってみましょう。
94=(4×23)+2です。てことは、1番小さい位は2です。

佑紀
佑紀

でも、ここでやめることはできません。なぜなら、次の位の値が23ってあり得ないからです。

例えば、10進法で、「この数は10の位が☆、1の位が2の、"☆2"です!ただし、☆=23です!」とか言われても意味不明ですよね。ちゃんと「100の位が2、10の位が3、1の位が2」って書かなきゃいけません。つまり、10進法だと、各桁は「0〜9」でなきゃいけません。

てことは、4進法なら、「0〜3」でなきゃいけません。1番上の桁の数が「0〜3」になるまで続けます。

佑紀
佑紀

94=4×23+2
最後の2は放っといてOKです。
4×23を、(4^2×○)+(4^1×△)にしたいのですが、これを4でくくると、4×{(4×○)+△}って表したいことになります。これは、1番小さい位を求めた時と同じ形ですね。てことは、また4で割ればいいってことになります。

佑紀
佑紀

23=4×5+3なので、
94=4×23+2に代入してみると
94=4×(4×5+3)+2
94=(4^2×5)+(4×3)+2

これで、下から2番目の位も出てきました。
1番上の位は5で、3より大きいので、まだ続けます。

佑紀
佑紀

5=4×1+1より
94=4^2(4×1+1)+(4×3)+2
94=(4^3×1)+(4^2×1)+(4×3)+2

やっと、1番上の位が3以下になりました。
この意味を考えてみると、
(4^3が1個)+(4^2が1個)+(4^1が3個)+(4^0が2個)
てことなので、ちゃんと4進法になってますね。なので、答えは
1132(4)です。

佑紀
佑紀

次に、128ですね。
(1)は、何度も言ってきた話なので、大丈夫だと思います。
5^2がa個、5がb個、1がc個、ということですね。

佑紀
佑紀

それと、今回使うかわからないですが、一応確認しとくことがあります。
5進法は各桁が「0〜4」のどれか、7進法は「0〜6」のどれかですよね。どっちも満たさなきゃいけないので、キツい方の条件である「0〜4」は必ず満たさないとダメです。

佑紀
佑紀

それと、なぜabc(5)を(1)のように変形するかというと、5進法と7進法だと、進法合ってないですよね。進法を合わせないと意味がわからないです。でも、5進法とか7進法に合わせると慣れてないのでこれもまたこんがらがります。なので、(1)では10進法にしてます。10進法なら、普通に計算できますからね。

佑紀
佑紀

(1)より、abc(5)=25a+5b+cです。
同様に、7進法の方も10進法にします。
cba(7)=49c+7b+a

これが同じ数を表しているので
25a+5b+c=a+7b+49c
2b=24a-48c
b=12a-24c
b=12(a-2c)

佑紀
佑紀

ここで、a-2cって整数ですよね。bが自然数なので、a-2cが自然数の範囲で考えてみましょう。
もしa-2cが1だったとしましょう。そしたら、b=12×1=12ですよね。でも上の話から、0〜4しかとれませんから、ありえません。
同様に、2, 3, 4,...と大きくしていっても、4より大きくなっちゃって、ありえない数字になります。
でも、a-2c=0のときだけ、b=12×0=0ってなって、ありえる値になります。ということは、bは0しか無理ってことになります。

佑紀
佑紀

それと、a-2c=0つまりa=2cですよね。しかもaとcは0〜4までしか取れません。

佑紀
佑紀

しかも、abc(5)とcba(7)は自然数なので、a=2c=0はダメです。(000つまり0になってしまうので)

佑紀
佑紀

なので、ありえるのは
(a, c)=(2, 1), (4, 2)
のみです。

佑紀
佑紀

長々と書いてしまったのでわかりにくいところがあったらコメントください!

らいち
著者 らいち

なるほどーっっっ‼︎とっても、わかりやすいです✨
sayaさんありがとうございますヽ(〃v〃)ノ

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