ページ1:

◇ベクトル
① ベクトルの定義
始点Aから終点Bに向かう有向線分で表されるベクトルを
AB で表す.
また,始点0を定めたとき,任意の点P に対して, OP =
によって定まるアを点Pの (Oを基準点とする) 位置ベクト
ルという.
② ベクトルの大きさ
2点A, B に対して,ABの大きさを|AB」で表す.
特に,大きさが1のベクトルを単位ベクトルという.
AB
例 右図の長方形ABCD において |AC | を求めよ.
D
2
B
C
(答) |AC|=√42+22
=2√/5
③
ベクトルの和と差, 実数倍
(1) OA+AB=OB
(2) OB-OA=AB
(3)実数に対し, kd とは
(i) k=0のときは, 0
(k>0のときは,と同じ向きで大きさをk倍したもの
k<0 のときは,と逆の向きで大きさをk倍したもの
を表す.
A
・B

ページ2:

✓
(OA+AB)+BC=OA+(AB+BC)=OCを証明せよ。
() OX+AB-OBであるから、
(OA+AB)+BC=OB+BC
=OC
一方, AB+BC-ACであるから.
OA+(AB+BC)=ON+AC
-OC
よって、
(OA+AB)+BC-OA+(AB+BC)=OC
(コメント)
一般に
(a+b)+27+(万+2)
が成り立つ。
④分点公式
(1) 線分AB をmin (m>0, n> 0) に内分する点をPとすると.
nOA+mOB
OP=
m+n
(2) 線分AB をmin (m>0,n>0, m≠n) に外分する点
をQとすると.
0Q=
-nOA+mOB
m-n
P
Q
A
B
mnのときの図)
△OAB があり. 辺AB を 3:1に内分する点をPとする.
0
OPをON. OB を用いて表せ.
(*) OP=OA+OB
⑤ 重要な分点公式
(1) 線分ABの中点をMとすると,
OA+OB
OM=
2
3 PD

ページ3:

(2) △ABCの重心をGとすると.
OA+OB+OC
OG=
3
⑥ 平面ベクトルの1次結合と1次独立
2つのベクトルが0.6d.x を満たすとき., 6は1次独立である
という. このとき. 次が成立する.
(1) 平面上の任意のベクトルアは
p=sa+tb
の形(これをd の1次結合という)にただ1通りに表される.
(2) 実数s,t,s', rに対して, 次は同値である.
sa+tb=sa+r⇔
[s=s'
t=t
例 a≠d. 6. ax とする. 次の等式を満たすs.tの値を求めよ.
(s+2)+(+3)=54+76
()
より。
[s+2=5
[1+3=7]
s=3. t=4
⑦ 共線条件
OA, OBを1次独立とし, s, tを実数とする. このとき,
Pが直線AB 上
⇔AP=tAB と表される
⇔OP=(1-t) OA+tOB と表される
[OP=sOA+tOB
>>
ls+t=1
と表される
70

ページ4:

ON. OBは1次独立とする. 点Pが直線AB上にあり OP がON. OB を用いて
OPOA+70B
と表されるとき、その値を求めよ.
(*)7-110).
2
◇ベクトルの内積
⑧ 内積の定義
addのときとのなす角を0(0°≦0≦180°) とすると.
46=|4||6|coso
(注)a=dまたは万=1のとき.7万=0 と定める.
例 一辺の長さが6の正六角形ABCDEF がある.このとき
A
次の内積を求めよ.
B
(1) AB-AF
(2) BA-BD
() (1) AB-AF=6x6cos120°-18
(2) BABDより BA-BD=0
⑨ 内積と成分
a= (a1, a2), 万= (by, bz) のとき
ab=ab+azbz
(注) 空間ベクトルにおいても同様の事実が成り立つ。 すなわち.
a = (as, az, as). 万= (by, bz, bs) のとき
ab=ab+azbz+abs
C
D
F
E

ページ5:

例 d=(-1,3), 万 = (4,2)のとき、 内積万の値を求めよ.
=(-1)-4+3-2
=2
⑩のなす角
d= (a1, 2), 万= (by, b2) とする..万のときとのなす角を0とすると,
a-b
cos0=
aby+azbz
lab√√a+az² √b₁²+b²²
例 2つのベクトル d = (1,2). 万 = (3,1)のなす角0を求めよ.
()
cose- || √5/10/2
であるから.
0=45°
① 内積の計算法則
(1) aa=a
(2) a-b-b-a
(3)-(+2)=ab+a-c
(4) (kg)=d(kb)=k (-6) (kは実数)
例|a|=3.|6|=2, 6=2のとき. |2 の値を求めよ.
(答) 12a-5-(2-5)-(2a-b)
=41a-4a-5+16
=4-9-4-2+4
=32
. \24-6|=√32=4/2

ページ6:

垂直条件
0.60であるとき
ab a·b=0
例=(k, 2),万=k, -5) とする.ことが垂直であるとき,実数kの値を求めよ。
( 6=0であるから.
k-100
. k=±√10
⑩ 三角形の面積
△ABCの面積をSとすると.
S-VIABIAC-(AB-AC)'
S=
特に, AB=(z,y), AC= (Iz,y2) とすると,
S=1/212-yl
例 3点 A.B.Cの座標がA(2,0). B(4, 1). C(1, 6) であるとき △ABCの面積を
求めよ.
()
|AB=(2,-1)
|AC=(-1.6)
であるから,
(別解
△ABC= |2-6-(-1)-(-1)=
|AB=(2,-1)
|AC=(-1,6)
であるから,
△ABC=
VIABIACF-(AB-AC)²
-125-37-(-8) 2
=√121
=

ページ7:

直線のベクトル方程式
(1)点A(a)を通り. d (±0) に平行な直線
p=a+td (tは実数)
(2) 直線AB
p=(1-1)a+t6
a
A
0
15円のベクトル方程式
点Cを中心とし、半径の円の方程式
|CP|=r
← 17-21=r
◇空間ベクトル
⑩ 空間ベクトルの1次結合と1次独立
空間における3つのベクトル, 6, こが始点をそろえても同一平面上にのらないとき
d, 6, 7は1次独立であるという.
このとき,平面ベクトルと同様に次の性質をもつ.
(1) 任意の空間ベクトルアは.
p=aa+B6+yc
の形(これをd, b,この1次結合という)にただ1通りに表される。
(2)実数a,B,y, d, B', Y' に対して, 次は同値である。
aa+B6+yc=da+B6+yc
a=a'
B=B'
Ly=y
例空間における3つのベクトル, 6. は1次独立であるとする。次の等式を満たす
s.t.uの値を求めよ.
sa+(t+u)6+(t-u)c=3a+6+5c

ページ8:

(答)
s=3
t+u=1
1-u=5
であるから,
s=3, t=3. u=-2
⑦共面条件
OA, OB, OCを1次独立とし, r,s,t を実数とする.
このとき
4点 A, B, C, Pが同一平面上にある
⇔AP=sAB+tAC と表される
⇔OP=OA+sAB+tAC と表される
>>>
[ OP = rOA +sOB+tOC
r+s+t=1
•0
→C
→P
•B
と表される

ページ9:

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