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漸化式の応用
漸化式を利用して、平面の分割について考えてみよう。
例題
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解
平面上に2本の直線があり、 どの2本も平行でなく,どの
3本も1点で交わらないとき,これら2本の直線によって平面は
いくつの部分に分けられるか, n を使って表せ。
n本の直線によって平面がα 個の部分に分けられているとする。
n+1本目の直線を引くと, はすでに引
かれているn本の直線と, n個の点で交わ
りこれらの交点によって, ln-1 個の
線分と2個の半直線に分けられる。
この n+1 個の部分は新しい境界線にな
って,平面の分けられる部分の個数は n+1個増えるので,
an+1=an+(n+1)
数列 {an} の階差数列を {6} とすると,
bn=an+1-an
=n+1
ここで, α=2 であるから, n≧2 のとき,
n-1
an=2+2(k+1)
k=1
=2+1/2(n-1)n(n-1)
= (n²+n+2) ......1
1本の直線によって平面は
2個の部分に分かれるから,
a=2
また,① に n=1 を代入すると, α = 2 となり初項と一致する。
以上より、1/12 (2)