ありがとうございます( ´ ▽ ` )ﾉ

回答遅くなりました。
よかったら参考にしてみて下さい。

すみません誤解を招くようなことを言ってしまいました。正しい解法を描いてほしいです

この問題の場合は1回微分すれば増減表は容易にかけます。
微分後の関数が単調増加の指数関数ですから。
マイナスからプラスに一度だけ変化しています。
だから、1回微分した式=0を解いた値を代入して答えを求めています。

違うとは思いますが、仮にこの解答を数学の先生が書いたとするのであれば、すぐに講師変更する等の対策をとった方がいいです。
失礼ですが、このままで勉強を続けると、目標の大学に届くものも届かなくなりますよ

この問題は本当はグラフが描けるまで微分してそれで答えを導く問題なのですか？

微分して増減表を書いても分からなかったら、もう一度微分するとより詳しく図形の形が分かります。

この数値を微分してもどんなグラフになるか分からない時はどうすればよいでしょう

微分をするとグラフの形が分かります。すると図が書けるので、図から最小値を求められます。