ページ3:

P1482. (2) Y=
(0)
fr=dr=
= 0
do
l = S²³ Tr+ (r)² do
= b² 10² + 1 do
[ ± 10 JB + 1 + log 10 + 50 +11) ]^^
= = = {ZT√4x²+1 + log | Zπ +147π²+1 l - log 1)
=πLAT+1+1/2log12匹+4+11
=π √4π²+1 + \/ \log (2π + √4π²+1)
二
極座標による
曲線の長され
r=flo) (αSOSA)
& Lor+ards
教P1215より
JJx+Adx
= 1/2(x²+ A + Alog | x++)
3. 曲線x=ty=tCost)と2直線x1,y=0で囲まれた図形を回転の体積を
入軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
de=
at
3t2
V = π ["(t)² 31° dt
=π So² 3 todt
10
1
= 3π f' to de
=3匹][方切]!
〃
=3.1
-0.6
0.4
-0.2
01 02
C.4
0.6
08
=π
・

ページ4:

練習問題 2.A
4. 次の広義積分を求めよ。ただし、aは正の定数とする.
(1) fx x x = lim fb dx
x 12
Jz
ra
=
=
=
67-00
xx
-lim [ - 12/12] 12
b+
人
2
lim (- 1/1 + 1/2 )
b-7-00
√2
dx lim
127 de fin for 1 de
(2)
AH
=
dx
= lim Rat x 1-1/2/17/dt
--- / lim [28] om te
=-
= lim [√] E &²
=
8770
-lim (10² -√2018-ε²)
8-770
a
So
So x dx = -1/ So² i dt
=So Adt
2
1 2
Jdx-
= √x²² dx
=
a²-1² = tεnce (a²=-x=³/dx=dt
110708
t² 20€-E²
Sody
=
=257+0
-zxdx = dt
xdx = at
t-a²-(a-ε²
=20€
-zxdx = dt
11070
tlazo
=
=
1/2[2]
=
=a

ページ5:

練習問題Z-A
5. 数直線上を動く点Pの時刻における加速度を-8とする。t=0において
速度が1のとき、次の問いに答えよ。
(1)t秒後における点Pの速度と、速度が0になる時刻を求めよ.
時刻における点Pの速度をV(t)、加速度をd(t)とするとき
ひ(土)=v10) + Soad
2+S+(-8)dt
=12-8 [土]
=12-8t
また、速度が0になる時刻は12-8±=0
8t=12
t=3
よって利後の点Pの速度 12-84
速度が0になる時刻は廴
2
(2)50から4までに点Pが実際に動いた距離の総和を求めなさい。
ひ(t)=12-8土で
DS/2/2 のとき 12-80 ZO
2st4のとき12-8t50
よって求める距離の総和は
S^l vindt -S= (12-81)dt - √g (12-81) dt
= 4f,² (3-2t)dt - 4√ (3-2) dt
4[31-t³]-4 [31]
=4(1-2)-4112-16-12-13-20
- 4.1-4 (-4-447)
=
= 9+16+9
=. 34.
0
v
MIN
ひーもグラフ
面積の総和
=距離の総和

ページ6:

(2)点 (1,0)を中心とし、半径1の円周上の点をP(r, θ)とするとき、
「母で表せ
Per.8)
ACL)とするとAP=1
(1)より
x
AP = √1²+ 1-2r.1·cos (0-0)
ACLO)
=√r²+1-2rcaso
AP=はより
√r²+1-zrioso = 1
P21-2rcost=1
r2-2rcoso=0
ror-2cos):0
r=0p, r = 2 coso
ここで②において、今とするとr=0となるので②は①の条件を含む。
よってr=2coso
別解 右の図のようにA(20)とする
DAPにおいて、LOAP=90°であるから
P<г.0)
COSQ=
OP
OA
COSO =
11
r
2
fr = 2 coso
2. 曲線x=acosat, y=asinot costs2)について、次の問いに
答えよ。ただし、aは正の定数とする。
(1)曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
-a
-a
cost = ucfice u = cost, x=94³
dr du desint· zau²
=
dt dt du
=-3acos²tsint
→次のページへ

ページ7:

(2)点(1,0)を中心とし、半径1の円周上の点をP(r,θ)とするとき.
「母で表せ
ACL,O)とするとAP=1
(1)より
AP = r²+ 1-2r-1.cos (0-0)
=√r²+1-2r caso
AP=はより
√r²+1-zrioso =1
12+1-2rcosg=1
r2-2rcoso0
Pcr.0)
0
A(10)
r(r-2 coso)=0
r = 0, r = 2 coso @
ここで②において、
今とすると1=0となるので②は①の条件を含む。
よってr=2coso
別 右の図のようにA(20)とする
P(г.0)
△OAPにおいて、LDAP=90°であるから
CO5Q=
OP
OA
COSO
=
r
2
filr= 2 coso
So
A(20)
2.曲線x=acost, y=asint (ost≦2)について、次の問いに
答えよ。ただし、aは正の定数とする。
(1)曲線で囲まれた図形の面積を求めよ.
-a
=a]
cost=urfc&u= cost, x=qu³
dre du de
=
--
dt dt du
- sint・Jauz
=-3acostsint
|||(S)
→次のページへ

ページ8:

XP149
2(3)続き
=
bra³ ³² sm³t (1-sin²±) dt
-bπa³ f*^* (sin't—sin't)dt
= bπα (b. 4. ²/
二
32 64
8642
753
· bra²² / 43.33 (1-4)
=
6π03.16
35
32π03
105
3. 曲線r=/(本日≦AT)について、次の問いに答えよ
(1)曲線の概形をかけ
兀
LB7 77
0
9R
3
TL
2
4
4 24
4
3 2
4
T
R
3n
T
4
571372T 9
1.27 0.76 0.63 0.42 0.32 0.25 0.21 0.18 0.16 0.14
2
4
51
1 3F
171
2
4
24
4匹
4 2 4
2
531375枕
0.13 0.12 0.00 0.10 0.09 0.08 0.079
g
日
4匹
ASI
(C)

ページ9:

P1493, (2) 曲線の長さを求めよ
r = √ = o' m
r = -0²
-2
=
S
14x
+
04
for do
82+1
do
04
- for or do
1071
4
・4歳
70
4
+
・牛
for
部分積分法
(P. Fragrance • [Frog auto - So Foonglands
do
10+1
4匹
= [ + 10 + 1 ] + [ by 18 + 10 + A1 ] } }
10
= f(x) = 1, 91x) = √0² + 1
91x)=√0²+1684
F(x)=- | | g'(A) =
dx
1777A
<= 1x
=log | x+ √27A | +C
42 $167²+1 + 4/17 +1 + log (4M+ √16π²+1)
チル
π
16(16)
-
-log (1/+1
4
--+ +-+16+ log (4x+di+1) - log (4+*+x²+16)

ページ10:

Stepup.
問62249 数直線上を運動する点Pの時刻における加速度人が次の
式で与えられているとき、()内の時間に点Pが実際に働いた
距離の総和を求めよ。ただし、ヒ=0のときのx座標は0、速度
は0とする
(1)a=1-√1osts9)
t
1 V(t) = fr² (1 - √E) dt
= [t - ³±³] *
=
t-t√t
ひ(切となるのは
t=0,πe=
3
Sx ³ dx
212
t(-1/2)
<<呆のとき ひ(t)20
早くく9のとき
ott) <o
よって距離の総和は
(3)d
[ピー参
t
15
=[一秀]-[12
2
=
(
8 15 8 81 + 4,35
154
81 83581
161522
t
2
15
-405+648
10
243
10
4
+
・34
5
-81 +243
-817486
10
20
324.
=40581
16
20 2
+
405
16
5
=
20.4
81
4
岩+: 81+324
+
16
81 81 81
405
16-

ページ11:

P63
例題
・続主
log(x-20)=xt+CCCは任意定数)となるから
R-20=e-attc
x-20= e²e=λt
九(0)=100を①に代入100-20=
e=80..
よって
x-20=80e-t
λ = 80ert +20
・・・②
入(20)=60を②に代入
60=800-
-202
+20
40
=80g
201
e20x=1/2
log /
--201
-log 2
2=-202
λ = log2
log 2 ..①
20
よってえ(土)=40になるのは②より
-λt
40=800
+20
80ent=20
ext=1
-λt = log —
=2log2200
t = 2log 2
r
ここに③を代入
t = 2 log2.20
log2
t=40
よって、40℃まで下がるのには、全部で40分かかる。
したがって40℃まで下がるのにあと20分かかる

ページ12:

Step up
3250 ある種の細菌を培養すると、その増加率は現在の数に比例するという。
3時間後では1万個、5時間後には4万個だったとすると、最初に
何個の細菌がいたことになるか、
七時間後の細菌の個数をN=N(t), 比例定数を入(入口)
とすると dN
9
N
dt
両辺をNで割って、七について積分すると
S / dn dt - Indt
Ndt
St⋅ dN = frdt
log N
=λt+c
(Cは積分定数)
て
N
eatte
251
N
eext
0
N(3)=10000,N(5)=40000を①に代入すると
Sele= 10000
Tec(er)s=40000
④
③④より (ex)540000
leys
10000
(er)² = 4
ex=2
ex=2を国に代入すると
ec.23=10000
ec = 1250
よって最初の細菌の個数は
No)=ee
=1250
1250個
3

ページ13:

PP63 251 底に小さな穴のあいた円柱形の容器がある。時刻における水の深さ
を人とすると、単位時間に水が底の穴から流れ出る量は名となる
(れは正の定数)、円柱の底面の半径をr、時刻 0での水の深さをh
とするとき、人を亡の関数として表せ。
時刻t)
階
時刻Dのときの水の容積 Tr
時刻
&
時刻
時間もの間に流れ出るの水の量は
Ar²h - πr³x
単位時間に流れ出る水の量(流れ出る水の速度)は
d car³h-arx = k√x
dt
dark-xrx).
dx
=k√x
de
-12
dx
k√
dt
=
-πr²±²² = k
Tx dt
この辺を積分する
一
0000
Sid=fx
=2点さ
- dr It = Skdt).
2
(
-=httc (cは積分定数)
- 2πr² √x = kt + c
=0のとき、もんだから
2=0+c
C = -2πrth
これを①に代入
-2πr²√akt - 2x²/h
=
hết th
22
x=(+税)
20

ページ14:

Plus
P65 直交座標と極座標
例題 次の直交座標による方程式を極座標による方程式に直せ
(x-1)2+y=1
x=rcost, y=rsing を代入すると
(rcoso-1)+(rsing)=1
12cos2d-zrcoso+l+rsino=1.
52-2000SD
= 1
r(r-2 cost)=0
0
V-2cos
x
これから
1:0またはr・2c05日
r=2005日に日匹を代入すると1=0が得られるから
求める方程式はr=2coso
254 次の直交座標による方程式を極座標による方程式に直せ
(1)x+y=9
x=rcoso, y=rsino を代入すると
(cos²o + r² sin³0 = 9
r²ccos²Ð + sin²Ð) = 9
r2=9
☆極座標と
直交座標
St-rcoso
lyrsing
||Cost =
570
r = 3
(2) x² + y² -2x-27=0
x=rcoso, yersingを代入すると
r² cos² + r²sin²9-2rcoso -2rsing=0
r2(30+sin)-zrccost+sing)=0
rir-2ccos+sing)}=0
これから
1-0
F=D,
sing)
r=2Ccost + SINA)
→次のページへ
Sing

ページ15:

P65
254
=2(1050+sing)=案を代入すると「口が得られるから
と1=0が得られるから CDS+S
求める方程式は
1=2(cos+sinθ)
t
(3)x+y=2
x=rcost, y=rsin を代入すると
+ coso + rsing = 2
rccOSO+SIA)=2
(4) 12-4x-4=0
2
wsO+sino
x=rcoso, y=rsingを代入すると
rzsino-4rcoso-4:0
r² (1-(050) 4rcoso-4=0
P2(1+(OSD)(1-105g)-4rcoso-4-0
{(1+cos)r+2}{(1-cosor-23:0
+70より
Z
r =
1-6050
20
==
=+
= 0
1 + COSO
2→2-20050
1-cost
→2→-2-200
-4 cost
例題 次の極座標による方程式を直交座標による方程式に直せ
4
r=
1-cost
面に1COSOを掛けると(1-C05日) 4
r-rcoso=4
rcosg=x,r=スープを代入すると=
イオナ +4
=
したがって、求める方程式は
両辺を2乗して
2+=+8+16285
y = 8x+16

ページ16:

Plus
i間P66 255 次の極座標による方程式を直交座標による方程式に直せた
2
(1) r =
T-2005日
両辺に1-20050を掛けるとr-arcoso=2
☆一般に
た
b
T-acose
(a,bは定)
2次曲線
rcosoxを代入すると
√7²+72-2x=2
√√x²+72=2x+2
両辺を2乗して
x² + y² = 4 x² + 8x +4
したがって求める方程式は3オープ+84=0
(2) r=
2-cosp
両辺に2-COSを掛けると
2r-rcoso=1
rcoso=x, r = 173 P E A λ J Z E
2√ √ 72 + 1/2 - x = 1
2√x²+1 = x+1
両辺を2乗して
したがって、求める方程式は
Ax+472-72+2x+1
37²+47-2x-1=0
(3) r=
COSO
FP66
両辺にCOSDを掛けるとrcoso=1
60分ニスを代入すると
したがって求める方程式はx=1
x=1
256 次の極座標による方程式で表される図形の概形をかけ
(1) r=2sing
両辺にを掛けて r² = 2rsing.
r² = x² + y², rsino =7&A >93€
→次のページへ
P

ページ17:

EP662561
い)続き
7² +7² = 21
x+y-29:0
x² + (y-1)² = 1
中心(0,-1)半径1の円
(2)r4coso
y
H
両辺にを掛けると
r²=Arcoso
p²x²+7² rcoso=x/tλ x² + y² = 4x
2/
オー4x+72=0
(x-2)2+72=4
中心(2,0)・半径20円
(3) r2sin20+2=0
2倍の公式より2sinBCSD=2
rcosx, rsm=yを代入すると
2xy=-2
0
-21
0
N
14
10
★2倍角の公式
Sin20
=2sind cosa
2. 回転面の面積
例題曲線y=2(1≦x≦2)をx軸のまわりに回転しててきる回転体の
面積Sを求めよ
'y' = π// ENS
だから
S = 2x ]² 2√ √ 1 + (+ de
= 4 x ), ² √x + 1 dx
= 4 x [} = (x+1) ³]²
x1365-242
4匹
=ARS,² √x + 1 de
41f² (2) de
= 4 x [² ² (x + 1)³½³² ] }³
[/01)
138-255
21313-212)π
3

ページ18:

ARP67
59
また求める表面積Sは直線y=x(DS)を入軸
のまわりに回転してできる回転面の面積と、半径の円の面椒
の和たから
h
S = Zπ S² 1 √ H+ 193 dc + πr₂
c JH
2++Tr
ZT+ra
S
RRTP [1 x²² +
えん
£x dx + xr
2
h
+πP²
h
Zπh²+r² rh²
+11
h
zh
168
===πr√h² + r² + πer²
l=2+1なので
-
Tere +Ar²
=πr (l+r)
したがってS=πr cltr)
3. ' ' So² fixdx = £^ {% + Iπ +2(%,+ % 1 - - - + Ymx)}
十
FEL h=ba, yk = fla+kh) (k=0,1,...,n)
例題 区間[1,2]を10等分してS] 山の近似値を分形公式を用いて求めよ.
x=1.0,11, 2.0に対する文の値yoyoyut
四捨五入して小数第4位まで求めると
Yo=1,0000,y1=0.9091、Y2=0.8333.13-0.7692
74 0.7143, 150.6667,Y6=0.6250, y1=0,5882
y2=0.5556, Y9:0.5263,yno=0.5000
よって求める近似値は0/1{1+0.5 +2×6.1877} =0.694
2
* Sid = log2 = 0.69314718-

ページ19:

Xo X X z X y X q
開68 260 区間 [O.1]を4等分し、Sの近似値を分形公式を使って
小数第3位まで求めよ。
101+7
No=0、xに本、x2=1/2x3=2,x4=1128圧の
Yo | Y=
y2=
☐
(本)
16.
17
h = 1200 = 4
・
(
y³=
'
(税
〃
16
25
=
よって求める近似値は 1/2本{gotya+2(yo+92+2)}
ン
1/81+/+2(1++)
{+2400+340+272
=
812
425
1+1
Ź
2
18+ 4. 100 + 340 +272 100 +85 +68
16
76
5323
6800
253
425
1275+4048
5323
425
=
18
0,7827.
=0.7827..
6800)53230
E
10,783
48600
したがって
So
I dre
56300
≒ 0.783
1+72
54400
19000
13600
54000
47600
6400

ページ20:

*262s-lo (ax+b)de+(ax+b-logx)d
869-
(3)続き
ax
Ilogxdx-51.logxdx
- [ax + bx] - [2x² +hx - xloy x + x ], "
+
-xloq x - Sx (logx)dx
=x logx-
- 2 + b + { 1 + 1 - 1 log b + f ( $ +blog! +1)}
b
十
- -
+++ga-1
za + α + à loga + 1 - 2 - 16-1
=
•
+
20
20
b+loga+1 -1
a
(1)より1+b+boga=0なので
20-1
の
263曲線y=ez,直線y=3および1軸で囲まれた部分Sの面積をAとする。
(1)Sの概形を描き、その面積を求めよう
-x
1:33
9=ex
A = √³ (3-e²) d
= [3x - e² ] 107 3
(土)A
log 3
= 3 log3 - elogs - (-e)
二
3log3-3+1
=3l093-2
(2) O〈t<log3とする。Sのうちでtsxs2tの範囲にある
部分の面積A(t)を求めよ.
→次のページへ
20

ページ21:

969264
よってDく亡くて
dy
(1)続き
dx 70
た
3√3
くくて続く。
dy
くくで袋70
dy
dx
またた号で
dy
=0
da
(2) 曲線で囲まれた図形の面積Sを求めた
t=
t
Dr. Ab
t=
RIN
x
t=zarr
=1-(1+0)
= 1
よってして(17)
た筈のとも
(
★媒介変数表示による
図形の面積が
二
x
x=sinit, y=sint(i+cost), d=zsintcost.
de
dx
くさくのき方が、くしく元のとき<01>0より
I
5 - St² 1 y de ld t
16.
de
- 1 Id
りさ(銚
y
dt
= S & J Jt dt + S x y d y d t
PTC
Soy ft de
at
dt
Sr dy dt.
- for sint (1 + cost), 2 sint cost de
R
2 for Sin³t cost (1 + cost) dt
sintcostdtasintuをおく
costdt = du
410-772
· Su-du
[音]
alu-so
=0
←
2 ( So, Sin² t cost dt + for Sin't cos³t dt)
t
= 0 + = [t - 4 sin 4 + ] ^~^
R
4
{(7-0) -(0-073
sintcostdt
-Sisintcost)de
• S(sin2t)³dt
・1/2jsieztdt
=
こ
1-1054tdl
2
== √11-cos4 tidt
SinA tJ₂

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手軸と平行な接線の傾きは
①) 焼き
dy
dy
It
zt
=0
3t-1
よって2t=0
t=0
接点の座標は(-1,0)
(2) 曲線が自分自身と交差する点の座標を求めよ。さらに、その交点
において2本ある曲線Cの接線の傾きを求めよ。
t=to,t, (tot)で曲線が自分自身と交差するとすると、
5x=to-1 = t₁²-1
( 1 = to³ - to = t¾-t₁
to²-1 =
to²-t² = 0
より
ti²-to = t₁²²-t₁
ピ2-1
to³ - t³ - (to-t₁) = 0
(to+t₁)(to-t₁)=0
(to-t) (to²+tot, ± t₁,² −1) = 0
tott, M. to-t, #0 EAS
tott₁ = 0,...
tototo+t^2-1=0…②
or t₁ = to '0'
①を②に代入すると
2-
t²²²²-to² + to ²-1=0
to² = 1
Tustiより to-1, t=1
to=土1
よって求める座標は10,0)傾きは1,-1