ページ3:

(2) t≠0 のとき L:y=(3t2-1)x-2t3
C:y=x3-x
これらを連立方程式として解くと
-x=(3t2-1)x-2t3
∴x3-3t2x+2t3 = 0
1
0
3t
2
2 t
t
∴ (x-t)(x²+tx-2t2) = 0
t
t
1
t
-
2 t
2
2 t
0
3
∴ (x-t)2(x+2t) = 0
t≠0より
x=-2t
したがって a = -2t
また f(t) = 3t2-1, f'(a)=f(-2t)=12t2 -1
よってf'(tf'(a) =(32-1)(12-1)
=36t4 -15t2 +1
5 2
=36(t2.
24 16
5
t≠0より > 0 だから 2
=
-のとき最小値
24
16
ーをとる。
16

ページ4:

(3) (s, f(s)) における接線は
y=(3s2-1)x-2s2
L:y=(3t2-1)x-212
これらが直交するとき,傾きをかけて-1だから
(3s2-1)(3t2-1)= -1
3t2-1 ≠ 0, すなわち t≠ ±
のとき
3
1
1
3s2-1=-
∴.3s
+1
3t2-1
3t2-1
1
1
3s2 ≧0より
+1≥0
≦1
①
3t2-1
2
3t
①の不等式を場合分けして解きます。
(ア) 32-1> 0 すなわち t <-
1≤312-1
√√ √3
<t のとき
3
3
√
√ √6
t
3
3
したがって
√ √6
3
√6
√√
3
3
3
√3
追
√√3
のとき
(イ) 3t2-1 < 0 すなわち
① はつねに成り立つ。
(ア)と(イ)より, ①を満たす実数s が存在する条件は
√√3
√ √6
√6
<t<
St
3' 3
3
3
53
t