ページ3:

3 外分点の位置ベクトル
2点A(a),B(b)に対して、 線分ABをmnに外分する点Qの
位置ベクトル」は、次のように表せる。
na+mb
q
m-n
例 2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABを4:1に内分する点 Q
+9
-la+4b
→>
4-1
a+
4
33
-b
A
B ①

ページ4:

4 三角形の重心の位置ベクトル
3点A(a),B(b),C(c)を頂点とする△ABC の重心 G の
位置ベクトルは、次のように表せる。
↑g
g
a+b+c
3

ページ5:

5 ベクトルの共線条件
2 点 A, B が異なり、 直線AB上に点 C があるとき、
AC=kAB …※
となる実数 kがある。 注 両辺のベクトルに同じ点がなくちゃだめ
(AB=kCDはただの平行条件)
→ 3点 A, B, C が一直線上にあるためには、 ※を満たす実数k
が存在する。(=共線条件)
△ABC で、辺 AB を 1:2 に内分する点を D, 辺 BC を
3:1 に内分する点を E とし、線分 CD の中点をF とすると、
3 点 A, F, E は一直線上にあることを示せ。
【方針】 AF = kAEとなる実数があることを示すよ。
【証明】AB=b, AC=cとする。
AD:DB = 1:2より (準備)
•
AD
1
1
=-
-AB =
.b
3
3
DF:FC = 1:1より
1AD + 1AC
AF
=
D
F
1+1
B
(3
1
-X-=
·b +
-c=
-b +
3
2
6
-c=
2
→
→
(b+3c)
6
C
E ①
2
• BE: EC = 3:1より
1AB + 3AC
3+1
3
=
1
AE
=
(b+3c)
4
6
3
AF
= —— AE = 2—1—AE (AF * 1/2
4
2
したがって、 3点 A, F, E は一直線上にある。
AE (AFを一倍したものがAE)
2

ページ6:

6 aPA + βPB + PC =0を満たす点Pの位置
例
始点が点P に統一されている(点 P がどこにあるかワケワカメ)
→ 始点をAに統一すると、点Pが点Aから見てどこにあるか
わかる。
3AP + 4BP + 5CP =0を満たす点Pはどこにある?
解 始点をAで統一すると
3AP + 4(AP-AB)+5(AP-AC) = 0
整理して
4AB + 5AC
AP =
12
1
12
5+4
4AB + 5AC 線分 BC を5:4
に内分した点
よって、線分 BC を5:4 に内分した点をDとすると、
1
点Pは線分AD を
-倍した点である。
12
P
A
B
C
(5)
D
(4

ページ7:

7 2 直線の交点の位置ベクトル★★★ (最重要かつ最頻出)
2直線の交点P を表す位置ベクトルを求めるには
点P を表すベクトルを2通り表し、係数を見比べる。
2つのベクトルが一次独立であることが前提
零ベクトルでなく平行でない
例 △OAB で、 辺 OA を 3:2 に内分する点を C 辺 OBを1:2
に内分する点をDとし、ADとBC の交点を P とする。
OA: =d, OB = bとするとき、OP を a, b を用いて表せ。
解△OAD で、 AP : PD = s : (1-s) とすると
•
OP=(I-s)OA+sOD=(1-s)a+1/56
△OCB で、 CP : PB = t : (1 - t) とすると
OP = (1 - t)OC + fOB
3
=³ ³² (1 - t)a + tb
5
a,bは一次独立だから、1と2の係数を見比べて
3
1-s==(1-t), S=t
5
3
1
1
この連立方程式とを解くと s
=
t=
1
1
S=
を1に代入すると OP
= a+
-b
2
2
6
O
①
(3)
D
A
C
(2)
P
B