ページ3:

(2) 準備
(1)より OC
前半
① また、 OD:
3
= b ②
4
CP=tCDの両辺を始点 0で統一すると
OP-OC=f(OD-OC)
OP=(1-4)OC+fOD
整理して
① ②を代入して
すなわち
後半
1-
1
OP=(1-t)x-a+tx-b
3
1
OP
=
(1-t)a+-tb
-t)a- 4
点Pが直線 OE を s : (1-s) に内分する, とすると
OP=sOE=s(-a+2b)= -sa + 2sb ②
a,bは1次独立だから、1と2の係数を比較して
-t=2s
4
1
8
この連立方程式を解くとs=-
5
5

ページ4:

(3) ここまでをお絵かきすると
準備
1
←
(2)より OP
2
·a+=b
①
P
D
F
5 5
前半
点 Fは線分 CP の中点だから、 内分点の位置ベクトルの公式により
1
=
OF OC+ - OP
A
・E
B
2
2
1 1
->
1 1
→
2.
1
→
1
-)
a+b):
=
at-b
・ア
5
15 5
=-x-a+
23 2 5
ここで、3 点 O･F･Q は一直線上にあるから、共線条件により
OQ=kOFとおけるので、アを代入すると
1
1
OQ
ka+-kb
15
5
④
点 Qは直線AB上の点だから、 係数和 1の法則により
1k+
1
-k+-k=1
15 5
これを解くと
イに代入して
OQ
4
→>>
k
3
a+ .b
4
=
15
4

ページ5:

(3)後半
前半より
OQ=1-a+3b
4
4
また、始点の統一より CD=OD-OC
1
---
a+ -b
3 4
OQ⊥CDだから、ベクトルの垂直条件によりOQ・CD=0が成り立つ。
1
→
よって
4
3
a+ -b
4
1
a+
-b=0
3
4
3
→→ →→
3
整理すると
lap
・a・b+
·| b|² = 0
12
16
16
1
3
3
|a| =3, |6| =2より
×32
a. b+
x22 = 0
12
16
16
したがって
a•b=0
頂点 0は直角だったんだねノシ

ページ6:

2020年度 1月 高2 進研模試 自学 @Akagi
【選択問題】
B8 OA = OB の二等辺三角形 OAB があり, 辺 AB を 2:1 に
内分する点を C, 線分 OC を3:1に内分する点をDとする。
また, OA =a, OB=とする。
(1) OC ODをそれぞれa, b を用いて表せ。
(2)k, tを実数とする。 直線AD 上にAE = kADとなるよな点 E を
とるとき,OEをk, a, b を用いて表せ。 さらに, OE=DBである
とき,k, tの値をそれぞれ求めよ。
(3)(2)で求めたkの値に対する点 E について, DB⊥BE であるとき,
(配点 20 )
∠AOB の大きさを求めよ。

ページ7:

自学@Akagi
2020年度
(1) 内分点の位置ベクトルの公式により
OC:
10A +20B
2+1
1.
=-
→
2
a+ -b
3
3
DはOCを3:1 に内分する点だから
3
31 2
a+ -b
→
D = 2² OC = 2 (1 a + ² 6 ) = 1 a + 1 b
OD
4
43 3
4
2
A
C

ページ8:

(2) 前半
AE=kAD
始点を統一すると OE-OA=k(OD-OA)
3
よって
OE=(1-
4
OE = (1-²² k)a+1 kb
1
2
後半
OE=tDB
始点を統一すると OE = OB- -OD)
1
1
→
よって
OE
--- ta+
-tb
4
▷ OA = a
1→ 1-
▷ OD = 10 + 15
==
a+b
4 2
abは1次独立だから、1と2の係数を比較して
1
3
k
1
=-
-= t
4
この連立方程式を解くと
4
k=2,t=2
▷ OB = b
1
1
▷ OD
b
4
2
②

ページ9:

(3)(2)より OE=
+b
2
▷ OB=b
また DB=OB-OD
=
-b
4
2
▷ OD =-a+
1
4
BE=OE-OB
=-
2
1
DBIBE より、DB・BE = 0 だから、
= 0
1
a+ -b
•
4
2
1
1
整理すると
•
0
1
2
.b
よって、 内積の値は
ここで、
とすると
また、 OA = OB より
内積の定義より
a.b
㕯 = 1½-½₁ã³²
|a|=
= a
a•b = 1/1a²
|||=
|b| = a
2
ア
a•b = |a||b|cosZAOB
これにア〜ウを代入すると
= α xxx cos ∠AOB
2
1
よって
cos ZAOB =
2
0° <∠AOB <180° だから
∠AOB = 60°

ページ10:

2019年度 11月 高2 進研模試 自学 @Akagi
【選択問題】
B8 平面上に OA = 2, OB = 5, ∠AOB = 60°の△OAB があり,
辺 AB を 1:4 に内分する点をCとする。 また, OA=a, OB=b
とする。
(1) OCをa,b を用いて表せ。 また, 内積 a・bの値を求めよ。
(2)k は実数とする。 辺 OB上にOH = kbとなる点 H をとる。
CHをk, a, b を用いて表せ。 また, CH⊥ OBであるとき,kの
値を求めよ。
(3)(2) のとき,辺 OA を 4:11 に内分する点をP とし, 線分 OC と
線分 PH の交点を Q とする。 OQ を a, b を用いて表せ。 また,
△OAB の面積をS, △OPQの面積をTとするとき, の値を求
めよ。
T
S
(配点 20)

ページ11:

(1) 前半
P
Q
H
ở 自学@Akagi
2019年度
①
内分点の位置ベクトルの公式より
・B
④
→>
1
-a+ ·b
5 5
40A + 10B
4
Oc=
=
1+4
後半
内積の定義より
a.b =|a||6|cos60°
=2×5×12
= 5劄

ページ12:

(2) 前半
4
OH = kb, OC=
5
始点を0で統一して CH = OH - OC
後半
→>
a+
10
-b
1-5
4
→
1
= kb− ( ±a + - b)
(=a+
5
5
4
1
a+(k
-)b
5
5
CH ⊥ OB だから、 ベクトルの垂直条件よりCH OB = 0
4
→>>
4.
a+(k
5
→
a
•
-
b+(k
-)b
5
.
b
=
= 0
= 0
5
4
x5+(k
×5
= = 0
5
k
=
9
25
答

ページ13:

(3)準備
4
問題文より OP
a
15
(2)より OH = kb
前半
.b
25
HOQを2通りの式で表して
係数比較でいきます。
A
点 Qは線分 PH 上の点だから、
PQ QH = PQ:QH = s : (1-s) とすると
OQ= (1-s)OP + sOH
4
9
=
=(1-s)x-
a+sx
15
25
4
9
=
-sb
15
25
-(1 − s)a+·
•0,Q,Cは同一直線上にあるから、共線条件より
OQ=toc
4
1
=-ta+
5
-tb
5
(1-s)
aとbは一次独立だから、アとイの係数を比較して
1350-941113-11
=
S=-t
25
この連立方程式を解くと
5
9
S =
t =
32
32
t =
32
ーをイに代入して
9
9
OQ
-
a+
·b
40
160
B

ページ14:

(3)後半
ここまでを整理すると
4
9
OP: -OA,
=
15
=
OH -OB, PQ = 5 PH
25
32
等積変形(中2)の考えでちょっとずつ三角形をでっかくしていきます。
5
T = AOPH ×
32
4
5
= (AOAH ×
15
4
-) ×·
=(AOAHx— ☑
=(AOAB×
15
|35|3
9
H
16
・B
①
C
(4)
9
4
5
-) ×
×
25
15 32
9 4
5
= S×·
×
☑
25 15
32
3
S
したがって
200
7-S
T
=
3
200
答