ページ1:

(1) 0でない実数αに対して, 定積分
I = eat cos(2t) dt,
J=
J = √₁² e²
eat sin(2t) dt
をαの式で表せ。
I
=
[— eat cos(2t)] 5 — — — (-2).
0
a
= -1√ √ ** - 1+1 7
a
J
元
2
1. for eat sin (2t) dt
0
— J - I = α (ex² + 1) −0
a
J
=
J
=
[à eat sin (2t) ] o
a
I
①.②より、
②
2² ( - 12/1212 ) - 1 ==
a
②より
-
°
±²²+1)
- 1/2 1-a1 = e²
I
I
=
11
x
+
el
+a
alean + 1)
4+02
pat
cos (20) dt
J = - 2 × (- alex ^ + 1))
=
a
2(e+1)
4+02
4+02
alex+1)
2 (e² + 1)
I =
4+02
J =
4+92

ページ2:

<
(2) zy 平面において, 曲線C: z=e-2t cost, y = e-tsint (0≦ts)と、
軸と, y軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
x = e
-24
Cost
y = et sint
(0€+€ I
-20
OSにおいて、
0<e
0≤8
10€ Cost 21
O<e, 0 ≤ sint 2% O≤y
+=098= x= | Coso
-R
t=^ at x=ex cos 1=0
[=
-27
-2€
dx = -2 et cost - est sint
dt
=
-e-2+ (2 cost + sint)
よって、求める面積は
N = S y d x
(1)より
S=
0
2/è
4+9
.1)
+
OK
0
S
-2t
e²² sint { - e²² (200st + sint) } d t
-3t
sint (2 cost + sint) dt
(sin(2t) + sint) dt
I
dt
e *sin±t dt — ±‚ª e¯*cos2t dt + √ √ ed
3(e²+1)
4+9
-
# (e²²+1) - — (e * -1)
8-55-
39
#
-3t

ページ3:

2 を自然数とする。 zy 平面上を動く点Pがあり、 1回の移動で次の (L), (R) の
いずれかによって, Pは移動する。
「点Pが (x,y) にあるとき,
(L) (-1,g-1) に移動する
(R) (+1,g-1) に移動する
はじめPは原点(0,0) にあり,この移動を回繰り返す。 このとき, k = 1,2, ...
に対して, Pが回移動した後の座標を とおく。
例えばn=2のとき,Pは 「(L), (R)」の順に従って移動すると, (-1, -1), (0, -2)
の順に移動する。 またPの移動の仕方は, L,
L, ), L」,
「(R), (R)」 のそれぞれに従って移動する4通りある。 さらに, 2 0 をみたす P
の移動の仕方は, 「L LL (R)」 「(R), (L)」のそれぞれに従って移動す
る3通りある。
次の問いに答えよ。
(1)n=4のとき, πk ≦0 (k=1,2,3) かつェ40 をみたすPの移動の仕方は
何通りあるか。
左図より、2通り
4
以下, 8 とする。 π1,..., 78 の最大値をMとし, T1,..., π8 の最小値をm
とする。
(2) 2≦mM3をみたすPの移動の仕方は何通りあるか。
・2
-1
I
2
3
+
1
3
3
9
9
10
3
4
1
1
=
28
22
6
33
14
4
14
47
左図より
28+61+47=136
136通り

ページ4:

3z≠1をみたす複素数に対して,複素数を
2z 3
w=
z-1
と定める。 r>1をみたす実数に対して,zが [z|≧rの範囲を動くとき, wが
とる値の範囲をD, と表す。 次の問いに答えよ。
r= 2 のとき,D, を複素数平面に図示せよ。
(1)r=
W-3
より
Z-1
Z =
W-2
(WF2)
W =
2Z-3
1z1zr27
w-3
mr
1-2
w-31≧rlw-212
(w-3)(W-3)≧r(w-2)(W-2)
2
| w | ² - 3 (w + w ) + 9 z r² | w |² - 2 r² (w+w) + 4h²
(r-1) | w³-(2r²-3) (w+w) + 4 r² - 9 ≤ 0
ピーリキロマリ
| w |² - (2-1 ) (w+w) + 4-5 ≤0
|
w
2
W
-
r=1/27
p=
り
W
w
Tw
-(2-1)l
-
(2)
2
ミ
r
€
2
+
(r2-112
-
→
2
2
1+1 +2
1
(r²-1)² (1)²
12
境界を含む
ただし、w=2を除く
H

ページ5:

>>>
(2) Er を D, と実軸の共通部分とする。 整数を表す点のうち, E, に含まれる点
の個数を N, とおく。 N =3となるの範囲を求めよ。
(1)より
W
-
r-1
点(2-12)を中心とした、半径1の円の内部を表す(Wキコ)
よって、Erに含まれる整数をとすると
2-
ミワー +
P-1
r²-1
p²-1
k2
を満たす
①マリ
2
r-1
€ 2+ <3
r+1
したがって、この範囲に3つの整数が含まれるとき、トキ2より
K=-9.0.1となる
ゆえに、
-2-2
3 = √ + + < 4
*<1-1===
<r≤
4
3
4
3

ページ6:

>>>
(3)m=-2かつM3をみたすP の移動の仕方は何通りあるか。
(2)から-1≦m≧M≦3を満たす移動の仕方を除けばよいので、
2.
b
'
14m²
2
VC
9
12
4
よって、81通りあり
1
13
41
40
M=-2 かつM≦ろをみたす移動は
136-81
=
55
55通り
ザ
(4)m=-2かつ1 ≦M3をみたすP の移動の仕方は何通りあるか。
(3)において.
-2-1
2
2
40
80
4
8
m=-2かつ.-2≧M≦M≦Oとなる場合を除けばない。
1
2
4
18
左図のうち、
m=-2とならないのは、1通り
よって
m=-2かつ.-2≧m≦MSOとなるのは
ゆえに、55-15=40
15通り
40通り
+1

ページ7:

>>>
(3) PQR の面積Sをtの式で表せ。 またSが最小となるtの値を求めよ。
S = = √1231²-1231² - (OP · QR)
=
2
2
(3t+1) (7-6t+3)_ (4t-3t+1)
16
16
21t-18t+9t'+7ピー6t+3-(16t++9t+1-24t+80-6t)
15t+6ピーピ+3
#
よってピーピーピ+3が最小となるとき、Sも最小となることから
f(t)=5+6+ー+3とする。
f(t)=20t+18-2t
t
0
=2t(10t+9t-1)
=2t(lot-1)(t+1)
f(t)/
fits /
「
1/1
10
1
0 + /
=
よって、 た11のとき、f(t)は最小となる
t=1
4

ページ8:

(2)|QP12, QR|2, 内積 QPQR をもの式で表せ。
á ốp cả sẽ tổ
QP
=
12 $1² = √² |ā |² – 2st ã•b² +t²/b\'
= √² - st + t²
=
=
2
\(t+1)² - √ √ t(t+1)+t²
2
t+2t+] −2t²=2t+4t³
2
31 +1
4
4
a²·B = b²·⋅ c²= c⋅α = ±
QR = OR - 0₂ = (1-4) b + u²²-tb= (1-t-u) b tu c
| Q |² = (1-t-u)² | 5′1² + 2u(1−t-u)B·C² + u² [CR
= |+t²+u² - 2t − 2u + 2tu + u-ut - u² + u²
2
= t²+u² + tu -21-u+1
==
= t²+ \(t+1)² + t· ±² (t+1) = 2t −Σ(t+1) + ]
=
=
2
4t'rt÷2t+1 + 2t²+21 −8t −2t-2+4
クピ-6t+3
4
4
Q³· QR = (sā²-tb). ((1-t-u) b²+uc²)
=
=
=
+
s(l-t-u)·±±±±²su -t(1-t-u) —±tu
2
2
2
's 1st -- su+1su -t+t²+tu ¬¿tu
2
{~ -t +t²
= \(t+1) -t+t²
=
4t²-3t+|
4
2
31²+1
4
16=7ピー6t+3
4
QP · QR = 41²-31+1
4
#

ページ9:

>>>
41辺の長さが1である正四面体 OABC を考える。 点P, Q, R は, それぞれ
辺 OA, OB, BC を以下のように内分する。
OP:PA=s:(1-s), 0Q:QB=t: (1-t), BR:RC=u: (1-u)
さらに,点 0, △ABC の重心 G, △PQR の重心H の3点は同一直線上にある。
次の問いに答えよ。
(1) su をもの式で表せ。 またsのとり得る値の範囲を求めよ。
OA=1.08=6.0C=とする。
op² = sa σQ = tb, OR = (1-4) b+uc²
0Q
OF = 1/3210P-06+0)より
O2 ").
OH= [ sã² + t √² + ( 1-u) b² + uc)
=
£ ²ā² + ±√ √ (1-u+1 ) b² + ¼ c
a
0
S
P
T-S
AK
Q
W-4
G
11-2
u
B
ここで、O.H.Gの3点が同一直線上にあることから
OH= KOG 2176. (koĞ = $σ+ $b²++c)
3
f=
k.
3
S
3
k
u
3
3
(-u+1) =>
u=t-u+l
u = + + 1 = S
D<t<1より.
2
1<t+1=2
2
1<s<1
サ
k=S
k=t-u+1
k=u
ttl
S=u=
2
#1

ページ10:

<
5aを0<a ≦ 1 をみたす実数とする。 関数
f(x) = 2log (sin (az)) (logz)2 (1<<)
について、 次の問いに答えよ。
(1) f(x) を微分せよ。
f(x) = 2acos(ax)
sin(ax)
/(logxx)
2a
2logx
tan (ax)
x
#
(2)a=1のとき, f (x) の極値を与えるェの個数を求めよ。
f'(x) =
2
2l0gx
tanx
x
において、tonxは単調増加することから、
2
2
Tanx
は単調減少する
ここでg(x)=2logとするとg(x)=
201-logx)
x²
Ice ³) 1 < x < 1 1 1=17. g'(x) > 0
2
よって、g(火)は単調増加
したがって、f(x)は単調減少する。
Tim
22140 f(x)=
tan 1
2 -> lim f(x) = 0-
f(x)=0-
2log2
490g
=
I
<0
元
つまり、f(x)=0となるxの値がただ1つ存在する。その父をdをすると
増減表は
X 1
元
α
2
f(x)/+0
f(x) || f(α) ^/
x=dで極値をもつ
よって、
1個

ページ11:

>>>
am のとき,f(x)は極値をもたないことを示せ。 ただし, 10g < 21/2
(3) a≤
を証明せずに用いてよい。
1xく今のとき、
20
Tan(ax)
は単調減少する。(ocal)
同様にg)は単調増加することから、
f(x)は単調減少する。
lim
/ +0 =
tana
>0
I fly - 20 >o his for 20
lim
f(x)
=
29
tam an
2
4l0g
y
(x² I'm
f(x)>0であることを示したい)
log/2より
-4 lag 13 > −2
-
4log
2
>
a=xとすると
2
20
ar
①
a=//
4
α
兀
(0≦a≦1/2のとき,0≦x≦1/4)
==
tan
元
Tand
2
ここで、h=
tana
とすると、hiax)= tana-con
hix)= tand - cos³x
tand
sin20-2
2sinx
また、j(a)=sin2d-20とすると、f(x)=20s2d-2
=2(ws2d-1)
D≦d≧条において、jta)≦Oである。ゆえに、ki(a)≦0となり
ht)は単調減少、h()=夲
①.②より if(x)=
2a
770
tan
4匹
元
4 lg ≤ > ± 1 ¯ ò = |- ⁄ >0
元千
したがって、f(x)は1<x<↑で常にf(x)>0であることから、
f(x)は極値をもたない
2
2