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パターン1 〔整数問題 〕
教科書(東京書籍)
問2つの続いた偶数の積に1を加えた数は奇数になることを証明しなさい。
【解答】
偶数は 2n, 奇数は 2n+1で表せるよ♪
2つの続いた偶数は, 整数 n を使って次のように表される。
2n, 2n+2
この2つの続いた偶数の積に1を加えると
2n(2n+2)+1=4n²+4n+1
=2(2n²+2n) +1 * 2 (整数) + 1 は奇数
2n² +2n は整数だから,2(2n2+2n)+1は奇数である。
したがって、2つの続いた偶数の積に1を加えた数は奇数になる。

ページ2:

パターン1 〔整数問題 〕
教科書 (東京書籍)
問.2つの続いた整数では, 大きい数の平方から小さい数の平方をひいたときの
差は,どんな数になるか予想しなさい。 また, それが成り立つことを証明
しなさい。
22-12=3, 32-22=5, 42-32=7.
•
D
【解答】 2つの続いた整数では,大きい数の平方から小さい数の平方を
ひいたときの差は, 『奇数』 になると予想される。
<証明 > n を整数とすると, 2つの続いた整数は
n, n+1
と表せるので、大きい数の平方から小さい数の平方をひくと
(n+1)^n=n²+2n+1-n2
=2n+1
n は整数だから, 2n+1は奇数である。
したがって、2つの続いた整数では,大きい数の平方から
小さい数の平方をひいたときの差は, 奇数である。

ページ3:

パターン1 〔整数問題 〕
教科書(東京書籍)
問3つの続いた自然数をそれぞれ2乗してできる数をすべて加え,それを
3でわります。 そのときの余りを求めなさい。
※3つの続いた整数は n, n +1, n+2 って表せるね♪
【解答】 n を整数とすると, 3つの続いた整数は
n,n+1,n+2
と表せる。 それぞれ2乗してできる数をすべて加えると
n2+(n+1)^+(n+2)²=n²+n²+2n+1+n²+4n+4
=3n²+6n+5
= (3n²+6n+3)+2
=3(n2+2n+1) + 2
n は整数だから,3(n²+2n+1)+2は3の倍数に2を加えた数を
表す。
したがって、3つの続いた自然数をそれぞれ2乗してできる数をすべて
加え,それを3でわったときのあまりは2である。

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パターン1 〔整数問題〕
教科書(大日本図書)
問. 連続する2つの奇数の積に1を加えるとある数の2乗になる。このことを
文字を使って証明しなさい。
連続する奇数は 2n +1 と 2n+3って表せるよ♪
【解答】 n を整数とすると, 連続する2つの奇数は
2n+1,2n+3
と表せるので,これらの積に1を加えると
(2n+1)(2n+3)+1=4n²+8n+3 +1
=4m² +8n+4
=4(n²+2n+1)
=2x(n+1)^
={2(n+1)}
したがって, n は整数だから連続する2つの奇数の積に1を加えると
ある数の2乗になる。

ページ5:

パターン1〔整数問題〕
教科書(大日本図書)
問 奇数と奇数との積は奇数であることを, 文字を使って証明しなさい。
2つの奇数は別の数だから別の文字を使って表すよ♪
【解答】 m, nを整数とすると、 2つの奇数は
2m+1,2n+1
と表せるので,これらの積は
(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1
=2(2mn+m+n)+1 *2( )+1 は奇数
である。m, n は整数だから, 2(2mn+m+n) +1は奇数である。
したがって, 奇数と奇数との積は奇数である。

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