ページ1:

1
(a) an = 2.97-1 これを9進法で表すと、an=2,000 (9)
9でn-1回割れる。→9進法にて、n桁
よって A=2,B=0.m=n_l①
#
M-1桁
またan=2.9m-=2.32(n-1)=2.327-2 より 3進法で表すと、
an=2000 (3) よって、C=2.D=0,l=2n-2 ④
2n-2*15
n-2桁
n
±AK = 2(3) +200 (3) +.
+20000(3) +
2000 (3) 2η-1桁
K=1
2020-202(3) an-1桁
よって、E=2.F=0.2n-1桁 ⑤
#
(b)b1 = 13(4)=4+3=7. b3 =0.013(4) = 1/6 + 7 = 7 7
ゆえに、数列{n}は、初項7.公比/8の等比数列である。
(l3 = r² b1 ==-71² r=#ff by be bo #I fost r>0)
(l3=83b1
b2=7×18=4=3x4+2=0.32(4) 同様にb4= 0.00032 (4)
=791-(前)
*b* = 7{1-(+)³] = 8{1-(+)} 7=8(1-7)0811-(1)}08
;bx
1-(舌)
よって整数部分は7であるから,hk=111-11-1(P) のとき,
7=111(P)⇔7=P+P+1 ⇔ (P+3)(P-2)=0
Pは自然数なのでP=2
サ
よって音bk=8f1-(8)=7+1-(2)
=
:7+
84_1 122-1
-
7+
+
1
=7+
2+210+ -
1
212
=7+甜++
= 111.11--1 (2)
12桁
+
212
X-1=(x-1)(x+x+---+1)
12-1=(2-1) (2+2+-+1)
:.j=12

ページ2:

2
A(2.0.1) B(0.3.1) C(0,0,1)
(a) | Oó| = √4+0+1=√5, |OB² |= √0+9+1=√10, OA- OB² = 2×0+0×3+1 × 1 = 1 + 1
COSLAOB =
JA OB
1
=
=
H
▲AOB = ±±√ IŒÃ³1ª | OB³Ï³-(ŒÃ³· ÒB³)² = ±√5×10−1² = ¥.
7
四面体OABCの体積をVとおく
V=ABCOC=(±×2×3)×1 = 1
よって点Cから平面AOBに下ろした垂線の長さんは
V= ½³× AAOB×h ⇒ 1=¾×3×h
h={{
11
(b) CE² = ŒE-πC²= (³)-(i) = (³) | | = √4+9+1 = √14
CE |=
P(火.y,z)とおく.
点Pは直線CE上の点よりCP=tCE (t:実数)
CP-LCE
CP tẺ +()-() :(i)-() o
2t
=3t
点Pは平面OAB上の点より、OP=d0A+B08 (α,B:実数)
OP = αOò + BOB² = ( } ) = ( 3 )
1-t
20
3β ②
2t=2α
①② より 3t=3β
これを解いてたd=p=1/3
1-t=α+ß
よって|CP1=(2t)+(3t)+(-t)2 =
|t|J14
=
-14
#
+Z
C
B
A
z=1
P
B
A
P(31,号)よりOP=1/3(JA+06)が成り立つので、△AOBの重心 ③である
E

ページ3:

12
(C) M(0.0.±)、F(2.3.1)よりMF=(金)
1F=J4+9+0 - JT3
=
k,l,m を実数としてMQ-KMF, OQ=l0A+MO'と表せるので、
3m
MQ²= KMF² ⇒ OQ = ( 3*²), OQ = 10A + MOB³ ⇒ QQ = (34)
3k
-
よって2k=2ℓ,3k=3m,+1/2=l+mこれを解いてk=l=m=1/3
ゆえにMQ= MF Q(号,1,号)より、(b)の点と一致。△AOBの重心③
C
直線BFと平面ABEの交点をG とおく.
M
※ / 四面体OABFと平面ABEの
共通部分は△ABGである.
よって SNTは4面体 OABG
SUTは四面体 OABE の面ABEの上に
四面体ABGFを乗せたような立体であるから
7面体である
A
B
E
LLI
E
A
GB
E

ページ4:

3
C:f(x)=2x-7. D:g(x)= -2X28X+7
(a) g(g)= -47-8 より,D上の点(t, g(t))における接線lは、
l: y=(4t-8)(x-t)-2t-8t+7 ⇔ y=(4t-8)X+2t+7
f(x)=4%より,C上の点P(α,f(a))における接線は、
y=4α(X-α)+2d=7⇔y=40x-2d-7.…①
同様に、Q(β,f(B))における接線は y=4BX-2827... ②
2接線の交点Rの座標は①、②より,yを消去して
40x-20-7=48-28-7⇔4(dB)x=2(α+B)(α-β)
dx=04
①に代入して、y=40-20-7=208-7 ゆえに Rod, 20β-7) (③⑤)
(b) d.、Bは直線lと曲線の交点の座標を表しているから,
2X-7=(-4t-8)x+2t'+7⇔X+2(t+2)x-t-7=0
の2解である.
よって、解と係数の関係より.α+β=-2(t+2), αβ=-t-7が成り立つ
ここで、P(d.2d=7), Q(6.26-7),R(A2,24β-7)の3点において、
点Pが原点にくるように移動させると.P(0.0) Q(B-d,2(B)),R(2018-202)
に移るので求める△PQRの面積Sは、
S=△PQ'R' =4(B-a)(Sup-20^)-2(-a) 6/2/22(B-a)
\`7° (ß-α)³ = {(ß-α)³]* = {(α+8)²=4a³ } } = 8(√2t+4t+11}* *'),
Si=4(J2+4t+11) = 4(12(+12+9)であるから。
Sit=-1のとき、最小値108をとる。
Y↑ A(x,y)
S-4-4
B(92.12)
(C)S2=D-2(4-0)(48) doc = (B-0)=f(p-a
(l-Cの計算より、父の係数は-2である)
±(B-α)³
38-013
-
3
#
K..... 8

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4
(a) 円周C上の点Pは媒介変数を用いて(4cost, 4sint)
2点A,Pの中点は(2cost, 3+2sint)
4sint-6_2sint-3
6•A
4
P(4cost, 4sint)
(sints 1より
0になることはない。
0
14 x
(b)直線APの傾きは = であるから(空)
4cost
cost
線分APの垂直二等分線は、傾き 3,200点(20ost, 3+2snt)
を通るので、
y=200st
・3-2smt
y-29shr (X-2cost) +3+2sint⇔ (3-2sht)=20st(x-20st)+(3+2smt)(3-2snt)
⇔ (1-sint) y = Xcost+2.
4
(C) 垂直二等分線上の点を(X,Y) とおく.
(1-sint) Y = Xcost+…①を満たす実数切が存在する条件を考える
=
←tについての絶対条件
Xcost+Ysnt +=①を変形したもの
この連立を満たす, cost, sint が存在すればよいので
:
円: cost + sin't = | と直線 Xcost+YslintY+5=0
が共有点をもっ条件より、
(円の中心(0.0)と直線のキョリd) (円の半径1)
-Y+|
Asint
td
cost
VX2+Y2
·≤1 ↔ |-³Y+₤|≤√X+Y²
⇔13Y-5|≦2JX++Y2
両辺 0 以上より
⇔ (3Y-5)'≦4(X+Y2)
両辺2束しても同値
-
5+53
(Y-3)
5-1)
よって、求める垂直二等分線の通過領域は
+ (221⑤を満たす点(火)の集合であり,
#
双曲線を境界とし、その焦点を含まない領域⑥を表す
また、焦点はJ5+4=3 より (0.3±3) すなわち、原点 0 点 (0.6)である。

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