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三角地
三角比
①三角比
正接・正弦・余弦
2つの直線OA,OBのなす角日は
であるとする。
0°090°
◎イコールはつけない
∠ADBの辺OA上の2点P,P'から垂線を
辺OBに下ろすと
APOQ △POQ
よってPQ:OQ=PQ:OQ'
すなわち
PQ
=
OQ
PQ
OQ
Date:
0
B
B
ゆえに、器の値はOA上の点Pに関係なく、目だけによって定まる。
また同様に、器、器の値も、OA上の点Pの位置に関係なく、Qだけ
によって定まる。
大を角の正接またはタンジェント(tangent)といい、tandで表す。
PQ
OP
を角日の正弦またはサイン(sine)といい、singで表す。
を角目の余弦またはコサイン(cosine)といい、COSOで表す。
OP
三角比
y+タテ
sino=
r←ナナx
COSO =
←ヨコ
r←ナナメ
C
tano
y←タテ
←コ
r
2

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No.
Date:
30° 4560°の三角比
sin 30°
Cos 45
tan60°=
⑥ 三角比の表
JB
三角比の表を用いると
sin72 0.9511
tan 48° 1106
鋭角のおよその大きさ
②
Cos 35° 0.8192
5 0
sin=0.17のとき、三角比の表を用いて、sinθの値が0.17に
最も近い鋭角日を求めると
10°
注 a=bは、aとbがほぼ等しいことを意味する。
三角比の応用
¥=sino
y=rsing
xsino
xr
xr
r
Cosox
y
[tan
xxtang
2/4=COSO
xr
x=rcoso'
y=xtang
xx

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山のふもとのA駅と、山頂のB駅を結ぶケーブルカーの路線の全長は
3000m,傾斜角は25℃であるという。
AとB駅の標高差と水平距離は、それぞれ何か。
1m未満は四捨五入して求めよ。
右の△ABCにおいて
BC=ABsinθより
Q
3000×0.4226 sin25°
¥126,78
AC=ABcosθより
1268
3000×0.9063 cos25°
2
125
3000円
山
標高差は1268m
水平距離は2719m
測量などで、点Aから点Pを見るとき、
Aを通る水平面とAPのなす角を、Pが
水平面より上にあるならば仰角といい、
下にあるならば俯角という
あおぐ!!
仰角
水平面
ぎょうかく
うつむく!!
ふかく
木の根もとから水平に10m離れた地点で、
木の先端の仰角を測ったところ、28°であった。
目の高さを1.6mとして、木の高さを求めよ。
ただし、小数第2位を四捨五入せよ。
△ABCにおいて
BC=ACtanθより
10×0.5317+tan28
=5.3X÷5.3
よって、木の高さは
1.6+5.3=6.9
28℃
6.6m
E
10m
答 6.9m
木

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Date:
②三角比の相互関係
A 正弦・余弦・正接の関係
右の図の直角三角形において
y=rsin
x=rcoso
2
y
よって
ksine
sinQ
tan0=
= COS
O
また、三平方の定理により
ゆえに
a² + y² = r²
(rcos) + (rsinθ)=rz
両辺をドで割ると、
sin+cosQ1
更に、この等式の両辺をCOS3で割ると
Sin²(
COS
+ 1 = cos³0
tan 9=
Sin
tan=200であるから
1 + tan² Ocosid
注 (sing), (cos).
(tanθ)を、それぞれ
sin, coto,
と書くことが多い!!
三角比の相互関係
① tanθ=
Sino
COSO
② sin²+cos2=1
③ 1+tan20=cos'g
証明から自分で
できるようにしておく!!

ページ5:

Date
第=7
日は鋭角とする。 COSO- 1/3のとき、sinとtangの値を求めよ。
等式 sin'+cos-1より
sin'=1-cos'
日は鋭角 sino
cos 0 = 3
tan >0
sino=1
3
またtan日
Sin
050より
tanB = x3
x3
O
は鋭角とする。 tand=2のとき,sinθとcosの
値を求めよ。
等式 1+tan:=co5日より
(2)
*三平方の定理で
もうこの比も分かる!!
32-22=x2
9-4=22
1+8
COS'D
よって
cos2=1
日は鋭角より
=9
gin:0
Cos >0
Sing
CosD=1/
またtand=00より
Sinθ
=
tan cosθ=22×3/3/3
22
tang 252
m
G
22

ページ6:

B90°-日の三角比
右の図の直角三角形において
sin=FR
sin(90°-0)=
44
同じ!
同じ!
cos
逆数
tan 9=-
Cos (90-0)=
t
tan(90-0)=4
90日の三角比
sin(90°-0)=coso
Cos(90°-0)=Sinθ
tan190°-0)=tang
90-0
(1) sin 62°= sin(90°-28°) cos 280
(2) CDs 53°=COS(90°-37°)=sin37
(3) tan85° = tan (90°-5°)
tan 5°

ページ7:

Date
三角比の拡張
座標を用いた三角比の定義
座標平面上に、右の図のように、原点O
を中心とする半径の半円をかき、この半と
2軸の正の部分の交点をAとする。
半円周上に∠AOP=O
となる点P(y)をとると、目が鋭角 ○
のときは、鋭角の三角比の定義から、次の
等式が成り立つ。
sin=¥
COSO=
0°≦日=180°である角目に対しても、
PU.1)
15
A
O
r
y
P(x,y)
tan 9=
Ly
r
Sinθ,cosθ,tanθを、上の3つの式で
-r
定義する。
A
r
これらの値は、いずれも半円の半径とに関係なく、だけで定まる。
ただし、日=90°のときはx=0であるから tan日は定義されない。
L tang=善 どわれない!→
したがって、tanθと書くときは、 Q90°であるものとする。
日が鈍角、すなわち90°0180℃のときは、点Pは第2象限に
あり、 <y>0であるから、三角比の符号は次のようになる。
Sin >0
← 幸だから。
COS <0
←
〒だから。
tan CO
←吉だから。

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120°の三角比の値
半径2の半円において、0=120°
のとき、右の図の点Pの座標は
(-1)となる。
よって
1
Sin 1283
COO
120
2
↓反転
A
→
tan120=3
座標は、それぞれ
日が0%90°、180℃のとき、前ページの
460°
Pの
r.o
(-ro)
となる。
次のようになる。
よって、0℃,90°、180℃の三角比の値は、
sin0°=0, CDS0°=1,
tan 0°= 0
sin90°=1,
cos90°=0, tan90°の値は定義されない。
sin 180°=0.
cos 180°=-1, tan180°=0
ng
Cor
鋭角
90°
鈍角
180
sin
0
+
1
+
0
(80
Cose
1
+
0
--
(-r.o)
(ho)
[tan][A]]]
0
+
0
三角比の値は、いずれも半円の半径とに関係なく、日だけで定まる。
よって、今後は半径が1の半円で考える。
単位円