ページ3:

No.
Date
==
és = - Der + & corded
&q= (- & cost,- 424,
-(18)
-- & ((a²² O+ cos 0) cost, (a² + coït) and co-ord
=- & { an Olaino cost, and ant, coro) + cos(cord cost, cod4, 2017.
=-4(ander+ cos(RE)
このことをふまえ、位置ベクトルの時間微分を考えよう。1階微分、すなわち速度は、
v=1=f(ror)=pertrer=restricotrpafe117)
dt
となる。2階微分、すなわち加速度は、速度をもう一度微分すればよいので、
a=v=fliertrbegtrpadded)
=rerti(beatpadet)+idestroegtrólbertoe)
tronder tre amber + rt & cos des trta 0 [-(2-pertantes}}
= (³¬†ð²¬rð²à±²Ð)ert (²rð trö-r& coba Deo
となる。よって、極座標でのFOMは、
1,2
12
m ( r - r ð² - r ð² a² ²²ð ) = Fr
-(1,10).
となる。
m( 2 ŕ ð + rö - r ð²³ costa 0) = Fo
m(ziatzare01=F+
-Chan
1-3.保存力のFOM
位置によって、物体が持つエネルギーをポテンシャルエネルギーといい、その勾配の並べ
3
KOKUYO LOOSEHEA 30 min

ページ4:

Date
クトルで現せる力を保存力といった。保存力は次のように書かれる。
F = -v v = pv av av
dy/dz
= 130, 34, 317 - (1.12)
ただし、式(1.12)は直交座標での表式であり、座標変換の際にはまた翻訳をして
やる必要がある。まずは式(11)の逆変換を準備する。。
r
0
中
antan
-(1.13)
Z
arcten 11/1
ここから、合成関数の微分則を用いて、極座標での保存力を考えよう。各項は
JV
ar att de av 29 JU
+
t
Ju Jr
Jx at
=
+
t
242024 24
U dr JV IV JE IV
JUJU
dz
-
az ar
t
JO JV, 24 JU
JZ JO
22 74
と変形できる。ここで、r,日、中の人での微分は次のようになる。
11.14)
dr
It
20
xz
F
=
sid cost.
dx = (x+978 4x11 P0 = ŕ cord cord. - (1.15)
24
radat
4
=
x²+42
よって、保存力の成分は
ニア
It
or
r
- = -abandoff - fcandent # +12+24 (110)
t
IV
20
-(1-16)
4

ページ5:

同様にその微分は、
ar
=
r
=
No.
Cate
JA
24 (x²+ y²+=²)√x²+yz g² tang
===
-11.177
24
x²+ 4 = = Tai O cont
122220
=
10004
Tamp
なので、保存力の成分は
=-
24
-(118)
or
20
12074
Zの微分は.
ar=
= cost.
Jz
a
rand
-(1.19).
Jz
x2+2+22
12
=0
Jz
なので、保存力の成分は、
JV
---+
2
-(1.20).
となる。ここまでのことをふまえると、保存力は次のように書かれる。
F = WV (a' d cost, a'da 'd, cost) - 100 (contrast, cose' 4,-201
dr
JV
r2'024 (2'4, cost, 0)
rag
JV
du
川
-&
途中
dr
7 20
5
-11.21)
KOKUYO LOOSE-LEAF - m

ページ6:

No.
Data
これを式(11)に代入してやれば、
m ( 1² - r ð² - r ð² a² 0 ) = -3V
rÒ ²¯
or
m ( z r r ð + r² ö - † ²
t
²
co
a² Ð 7=-36
-(1.22)
JV
2
m ( 2 r ŕ & s² ² Ø + 2 r² ö & costat +1½ an ²201
=
と、保存力のFOMを得る。
1-4 オイラー・ラグランジュ方程式
ここまで、ニュートンのEOMを極座標に変換してきたが、ハッキリ言って面
臭い。もともと、ベクトルの方程式であるために、座標変換と相性が悪いのであ
る。なにか、変換に依らない形の変わらない方程式があれば便利である。
ここで、次の方程式を考えてみよう。
24
=
0
dt Ix
2x
-(1,23)
式(1.23)はオイラー・ラグランジュ方程式といい、FOMの別の表現である。ただし、
式中のムはラグランジアンといい。運動を記述する関数である。ここでは、ラグランジ
アンを運動エネルギーとポテンシャルの差として導入する。すなわち、
L=K-V=1/2m-ひ
-(1.24).
これを用いて、式(1,23)を変形していくことにしよう。第1項は次のようになる。
=
++)
-(mx) = mx - (1.25)
ただし、ひは位置のみの関数であることに注意しよう。同様に、第2項は、
24
2
Jx
2x 2
++2)-ひ
JU
=
2x
6
-(1,26).

ページ7:

となる。以上より、式(123)を変形すると、
mit
=
ax
= 0
(1,27)
となり、ニュートンのFOMを再現することがわかった。11.23)のを卵に、
えを卵やえに書き直せば、成分やを成分も再現できる。
極座標でも考えてみよう。 極座標では、速度の変式が変わることに注意し、
式変形を追ってみる。成分について、第1項は
d
(mr) = mr²² (1.28)
となる。第2項は
dr
dr2
となり、ここから
· m ( ŕ -rð² -rð² am ² Ü ) +
dt ar
dr
J-11.29)
2=1/22)=112)
r
ar
11.30)
と、EOMをしっかりと再現することがわかる。自分も、第1項は、
()
drd
42
- ( m r² j ) = 2 m r r Ò + m r²Ö
-(131)
_dt
となり、第2項は
24
20
2
12
ヨー
となる。ここから
7
KORUYO LOOTILA
-11.32)

ページ8:

No
Date
=
dt
20
JV
0-11.33)
となる。中成分も、これまでとほぼ同様なので省略する。
以上の議論から、オイラー、ラグランジュegは、座標の形に縛られず、一般的に成り立
つことがわかる。そのため、座標成分を会で現してやることにする。 座標が複数あるとき
は、番目のものに添え字をしてやり、ひえと書いてやる。このような座標を一般化座標
といい、その時間微分を一般化速度という。一般化座標を用いると、オイラーラグ
ジ
dt
10h-14-0
L
-11.34)
297
と書ける。一般化座標は必ずしも3次元を記述する3成分である必要はなく、例えば
軸上を運動する複数の物体に対して用いることも可能である。
8

ページ9:

Cato
f(x) f(a)
-(2,3)
であるとき、f(x)はx=aで極大であるといい、f(a)を極大値というのだった。
逆に手近において、f(b)がf(2)の最小値である。すなわち、
-(24)
f(x)>f(6)
であるとき、f(x)はそこで極小であるといい。f(f)を極小値という。極大値
と極小値を合わせて極値という。極値の微分係数は必ず0になる。すなわち、
fa
拡大
小
→
f'(a) = f(b) = 0
(2,5)
が言える。ただし、逆の「微分係数が0になったら、その
点は椏値」というのは成立しない。ここで、微分係数
が0になる点を停留点という。すなわち、関数の傾きが一切ない点のことである。
ここまでのことを考えると、限られた範囲のなかで、こが最小、すなわち極小となる
点では、1は(2)の微小変化に対して不変であると推測できる。ここで、1を、
(2)の汎関数であることを強調し、
[[411] = (x²² Fly-y's dx
742
-(26)
と書き、そとその変化の関係を追ってみる。関数において、fの微小変化ffは
ff(x)=f(x+x)-f(x)
と書ける。これにならうと、汎関数の微小変化は、
[1]=1112)+400][00]
x2
(27)
= F(x+5y, 4+ sys-fly, d± -(2,8).
と書ける。ただし、この微小変化を変分という。関数において、停留点の近傍で
jf=0
10
-(2.9).

ページ10:

101
Date
み
詩長() =0
(2,15)
が満たされる必要がある。ここでfをひをに北をもに置換すれば式
(1.34)が再現される。もともと、オイラー・ラグランジュ方程式は、汎関数の停留
点を求める方程式だったのである。ここで、式(2,15)に式(22)の被積分図
数、すなわち
F(4, 4) = √17 (47²
-(2:16)
を代入して、2点間を結ぶ最短の線を探してみよう。
d, a
0 =
24
・お
1171452
d y'
dx √17147
y"
-(2,19).
て
ここから
4" =0 <= 4-ax+b
(218)
がわかる。ただし、a.bは任意定数である。よって、2点間を結ぶ曲線 (2)
の関数が1次関数、すなわち直線であることがわかった。
2-3 最速降下曲線
原点(0,0)に静止した質点が、なめらかな曲線(火)に沿ってころがり
点(91)まで到達するのに、時間もだけかかるとする。土は、曲線の形に
よって決まるので)を変数に持つ汎関数で現せる。ある点(火)での
速度をひとすると、エネルギー保存から
— mv² - mgy = 0 > v=√294.
-(219)
が言える。曲線上における微小距離れては式(21)のように書け、ひとdの間に
d1=vdt -(2,20)
12

ページ11:

という関係があることを用いると[[]]は
t = SP²/ dt = S² ·
id=dx
16 [170902 dx -(2,217
0
と書ける。原点から点まで、最短の時間でたどり着く電線は、最速降下曲線
と呼ばれる。最速降下線を1(4)に選ぶともは小、すなわち停留点をと
るので、
dt=0
-(2,22)
を満たすはずである。よって被積分関数f()をオイラーラグランジュ方程式
に代入すると
2/17 (4) 22/1697
0 =
24√294 dx Jy 294
(41)²
| 1+1472
2.2993
1/17/412 d
212943 dx√2g(1+(9)
€ + 2 3 4 + 5 57)
y"
+ 2.2g(1+(9) 1299(1+(3)3
となる。式(23)の分母を払うと
-(2,23)
−( 1 + (9'3² 7² + (Y'}² ( H+ (41)²)-24" 1=0 ⇒ 244 +14/7 +1=0 - (224)
となる。式(2,24)の両辺にぞをかけ、変形すると、
24^4^4 + ( 4'}³ + y² = y²+ + ( 4 (47) = 0 -(2,25).
da
となり、両辺を積分すれば
4+41442=C
(2,26)
を得る。変数分離をして
dx=dy/214
(2,27)
13
AF

ページ12:

今、曲線(x)は正の範囲で考え、さらに式(2,27)は実数の式であるので、
OSICの範囲をとる。ここでパラメータを用いて、
Y-A-Acm (A=1/2)
(2,28)
とすると、その微小変化は
dy = Aai Odo
(2,29)
これらを式(2,27)に代入し
de=Asmode
=A.za/1/2000-
0
1A-Acol
2A-1A-Aθ)
61A-AC1-24m²(2)
A-Aco
= Aam D
do
A+A
2 √ A+A (2003² 1/2-1)
do
=2As & cost, sin
2
=A(1-0)do
' costo df = A.2 an² + do
-(2.30).
2
両辺を積分すれば、
x=AL-mm)
-(2,31)
となる。ただし、A=0のときって=9=0から積分定数は0である。よって、
(4)-(A(0-0)] - (2,32).
を得る。式(232)はサイクロイドの式であり、最速降下曲線がわかった。
14

ページ13:

2
変分法
2-1 汎関数
No.
通常の関数とは「数」と「数」を対応させた関係のことである。これに対し、これか
ら議論する汎関数とは、「関数」から「数」への対応関係のことである。すなわち、
入力としてある関数を決定してはじめて、出力として数を返すものである。
例として、平面上の2点間の距離を考えよう。点(x,91)と(x212)を結ぶ
曲線1=9(2)の長さをしとする。曲線上で近接する2点
(オ
(442)
(水)と(x+dx,y+dy)の間は、非常に短い距離であり
この区間の長さをdiとする。dtの間を直線で近似すると、
この区間は左図のように現され長さは
-dl = √d x² + dy² = dx / 1 + 1 1 1 1 12
dy
(2,1)
・ax
de
dx
と書ける。この曲線全体の長さを求めるには、dlを始点か
ら終点までたし上げる、すなわち積分をしてやればよい。
(4.4)
1 = Se d² = √ x² √1 + ( a 2 dx.
・
-(2.2).
dx
式(2.2)は被積分関数の中に火が入っており、かからとんでの積分は、むかられて
での全区間においての形を求めることを請求するものである。すなわち、ある
一点での数としてのその値ではなく、すべての人に対して「関数としての中がわか
らないと、しを求められないということである。
2-2.停留点
2点間を結ぶ線のうち、最短のものは両者をまっすぐつなぐ直線である。このこと
を、式(2,2)から導けないだろうか。汎関数は変数として、関数を持つのであっ
た。そこで、式(2,2)において、関数(木)を変えると、てがどのように変化するかを考
えてみよう。まずは、ふつうの関数f(x)において、ひとfの変化の関係を調べて
みる。x=aの近傍において、fla)がf(x)の最大値である。すなわち、
9
KONTO LOOGENLEAR

ページ14:

No
Cate
が成立するが、これは丸の変化よれに対して、ffが無視できるほど小さいこ
とを示す。同様に考えると、汎関数1においても停留点の近傍で
J2=0
(2,10)
が成立する。これは、(2)の変化に対してよ?が無視できるほど小さいと
いうことである。さて、武(2,10)の条件と8.84微小であるという条件から、
式(28)がどのように変形されるか見ていこう。式(28)の被積分関数を手の
全微分ffと見なすと、
x2
√2 = (x^² 5 fcq. u's dx = 5 x ² 13 4 3 4 + 3 / 18 4 / d - (2,11)
と書ける。ここでよりについて。
rdy_dy,
Fdr = f ( x + x)-
dy
= (x) = lin [16x+5x+4x) - 4x+Sx) _ ((x+4x) - Y(x)
de
4x
= lin
4x-40
41+0
4x
{(x+x+x)-2(x+x)}{2(+2)-1/(x)}
4x
= lim 54(x+4x) - 57(x) = f (59)
4x+0
-(2,12).
と、微分と変分の順番を入れ換えられるので、部分積分を用いて
12
・
8 7 = [ 3 7 8 7 7 ² + (x² 1 3 7 5 7 - 13 - 17 84fdx - (213)
となる。ここで、始点と終点の位置が変わってしまったら、そもそも2点間の曲線で
はなくなってしまうので、より(11)=(x2)=0,すなわち、両端固定を科す。すると、
(2,3)の第1項は0になり、結局
1
St = ["^"^ 1 3/4 de 13 - 11 Jude - (2,14)
を得る。式(2,14)において、どんなに対しても、式12,10)が成立する、という条件
を要請すると、
KOKUYO LOOSE-EAST mm

ページ15:

No.
Date
さらに、自由度の系についても同様に考えることができる。このとき、
ラグランジアンは、この一般化座標と…と、それに対応するこの
一般化速度ど…eの関数となる。すなわち、
4 = 4. 22. 24. 2. Ezu. Ent.
-(3.5)
である。これを用いると、作用は
4
512. 20 m 2 ) = ( 4 (2., 22 mm, dt - (3.6).
となる。これに最小作用の原理を用いると、
tz
ti
8 = √ ²² ²² 134, 82, +32 82; } de
となり、そこの岩各々に対して、ラングランジュen
24
}dt.
ピュ
z
tr
227
dt
24 d (24) | S2;dt - (3.7).
dt
(
24
=0
-(3.8).
222
が成立することがわかる。
3-2 ラグランジュeaの座標変換
ここでは、一般的な座標変換の前後で、ラグランジュの形が変化しない。
ことを見ていく。いまる自由度の糸において、
21 IQ, (2.... 2n
→
An (2... Zn)
-(3.9).
というような変換を考えることにする。すると、例えばGiの時間微分は、
16

ページ16:

No.
Date
3. ラグランジュ形式
3-1. 最小作用の原理
2章で確認したように、オイラー・ラグランジュ方程式(以下ではラグランジュcrという)
は汎関数の停留点を特徴づける方程式であった。ここでは、汎関数の
視点からラグランジュer: unzはEOMを導出することを考える。ここで、次
の汎関数を定義する。
S1 & ] = √ ²² 4 (2, 2) dt
-(3,1)
4
式(3,1)は作用積分とか、作用という。作用は物体の軌道を記述する関数
である一般化座標2(t)を入力関数に持つ汎関数である。また、ムは物
体の運動の情報がつまった関数であり、ラグランジアンという。ムの具体形につ
いては後で考える。2章での議論によれば、作用の変分が0であれば、
すなわち
JS=0-(3,2)
が満たされると、ラグランジュが導かれる。実際に、
=2+1d
8 2 + 3 4 4 8 2 ] d e
8 s = √ ²² 1 3 4 8 2 + 2 2
ti
= [3/4/4 82] ² + / - 134 1/1 13/14 | Sq dt - (3,3)
di
29
となるが、右辺の第1項は両端固定により0になり、さらに第2項は♂2の値を
問わずOになるという要請から、ラグランジュeg
14
24
=0.
(3.4)
22
が導かれる。すなわち、物体の運動は作用が極値をとるような軌道
が実現する。この考え方を最小作用の原理とか、ハミルトンの原理という。
15
KOKUYO LOOSE-LEAF 358 &med

ページ17:

gaiden
gai
Q₁ = dai Jaide, JR; den - z jaj is
de
+
dt
となり、両辺を2で微分すると、
292
JGi
===
-
(3.11)
Jzj
Tinte
(3.10)
となることがわかる。さて、変換後の座標で書かれたラグランジュceは
d
24
=0
dt IQ i
dai
13.12).
である。これを弐(3,11)を用いて、変形すると、
d ½ L 22;
dt j = 2j hi
n
2124 22; IL 22;
24. 22; JL 22;
+
22 Ai
2220
2
= dt &
+ 24 & 22]
}
22 A 22 Ai
n
If d (24) 24 7 22;
=0
-(3,13)
- dt J 2 ; 22 ; ) Jai
となる。よって、各々の2に対して
dtg
d 1247
24
0
-13.14)
227
が成り立つことがわかり、座標変換に対してラグランジュは形が不変と
なることが示された。
3-3. 仮想仕事の原理
あるりつの質点に、複数の力Fiが働いておりこれらがつり合っている
とする。このとき、これらの合力は
23Fi=0
-(3,15)
17
KOKUYO LOOSE-LEAR /-8380T Sin

ページ18:

となる。いま、力のつり合いが崩れないように、質点を少しだけ移動
させる。この微少変位をSとし、式(3.15)の両辺と内積をとると
-(3,16)
iFi-dr=0
となる。このfrを仮想変位といい、(3)を仮想変位による仕事とか、単に
仮想仕事という。また、質点に働く力がすべて保存力
Fi=-DVz
(3.17)
であるとき、式(3,16)は
Vi
Li VV₁ · Sr = Li SV; = 0
-(3.18)
と書け、仮想仕事の和は常に口になることがわかる。
3-4. ダランベールの原
複数の力を受けて運動する質点を考える。このとき、質点のBOMは
nr = 2 ; Fi
-(3.19)
となる。いま、この式を変形すると、
ΣiFi - m² = 0.
①
-(3.20)
となる。このように、一㎖という見かけの力を導入することで、式(3.20)は
あたかも力がつり合っている系の方程式と見なすことができる。このような.
EOMを静力学の問題に帰着させる方法をダランベールの原理という。
ここで、式(3.20)の仮想仕事を考えると、
となる。質点に働く力が保存力である場合は
(ZiFi-m² )· Sr = 0.- (3.21)
ZiS Vi + mj dy = 0 -(3.22)
18

ページ19:

移動
山単に
No.
Date
となる。さて、ここからラグランジアンの形を考えていくことにしよう。以下
では、簡単のため、1つの質点に1つの保存力のみが働く場合
SV + mit St
= 0
-(3.23).
を考える。いま、時刻とからとの間において、弟に式(3.23)が成立して
いることを要請すると、
" (su+mr· Sridt = 0 -(3.24)
ti
となる。ただし、2点間の移動について議論したいので、両端固定を課す。
いま、式(3,24)の第2項を部分積分すると、
t2
[mg・fo]
[m. 1 + 1 (80 m fride = 0
=0 -(325)
となる。南端固定(よせしち)=S(ち)=0)により第1項は消え、さらに
2
Sj² = ( 1 + s i )² - j² = j² + 2 · Sj - j = 2j S
より、結局式(3,24)は
-(3,26)
tz
02
= [ " (tuss² - svide = [th st 1 m² - V\ dt. - (3.29)
0
となる。ここで、ラグランジアンムを
L=1/2m82-1-13.28)
と置くことで、ダランベールの原理を
♪f," Lude = 0"
=0
-(3.29)
と書き換えることができた。これはまさに最小作用の原理であり、ラグランジアン
19
KOKUYO LOOSE-DA-88 mm

ページ20:

を(328)のように置けば、時刻とからたにおしてグランベールの原理が
成立している糸を表現できるということが示された。
2-5 運動量保存料
ラグランジアンムに対して、次のように名に共役な一般化運動量PSを定義する。
Pr=Jkr
(3.30)
これは単に運動量のみを表すのではなく、座標を一般化したのと同様に、より
広い定義となる。例えば、2次元極座表で記述されるラグランジアンは
L = {m (t² + r²²) - (t. b) -(3.31).
U
である。ここで上に失役な運動量Prは
Pr=
24
= mr
-(3.32).
と、動経方向の運動量となるが、日に失役な運動量は
Po = 24 = m² - (3.33)
と、角運動量になる。さて、ラグランジアンがある座標の微小な平行移動
2; 2; +2. LE<<I -(3.34).
に対して不変であったとする。すなわち、
L. (21 m 2, 24, 2m 2 2 ) = 12+
+ 2, 2, 222, t) (3,35)
である。ここで式(3,35)の右をテイラー展開すると、
20

ページ21:

No.
Date
24
Jai
-
in t)
L. (8 + 2, (i),) = 1. ([z], [p,c) + ( [q], [2],c). E. — (3,36)
い
2n
となり、これは式(3,35)より
JL
J2i
= 0
-(3.37).
となる。これをラグランジェezに代入すると
⇒
dti
24
Jġi
=corat-
-(3,38)
となる。すなわち、座標の平行移動に対してラグランジアンが不変な場合、その座
授に共役、運動量は保存される。なお、このように共役な運動量が保
存されるような座標を循環座標という。
3-6.エネルギー保存則
ラグランジュeにおいて、時間の微小な平行移動
→T=tを ただし、ε<<)
(3.39)
2(t) →→→ & (T) = q(t tε) 2(t) → &(T) = &lt+ε) (3,40).
を考える。このとき、一般化座標と、一般化速度は
と変更される。このとき、ラグランジュは
d
of (JL (2(T), & (T), T)) _ IL (&(T), & (T),T) = 0. (3.41)
である。アの微分について
df dt df, df d
dddtdt dT
21
It
KOKUYO LOOSELEXP
(3,42)

ページ22:

No
Date
であるので、式(3,41)は、
d
dt
22(1)
- (IL (2 (T), 2 (T), T)) _ IL(&(T), ¿LT), T)
OL(2LT)(T),T) 0
12(T)
(3,43)
となる。もとのラグランジュER
-(24 (2(1), 2(), e)) - 2L, (2(t), 2(t), t) = 0
(3.44).
dt
(t)
2214)
と比較すると、(t)が式(344)の解であるとき、(ア)も式(3,44)の解である
ためには ラグランジアンムが時間とに陽に依存しない。すなわち、
=(2t)ふ(切))
-(3.45)
であることが要請される。このとき、(t)と(ア)は初期位置や初速度といった
積分定数の差が現れるのみであり、両者が記述する運動に本質点な差は
ない。すなわち、ラグランジアンLが式(3.45)であるとき、この系は時間の平行
移動→たに対し、対称性を持つことが言える。さて、ラグランジアン
ムが式(3.45)で書けるとき、Lの時間での全微分は
dh
dt
普
24 d2, 24 då al
dadt ddt
ま
38
q +
-(3.46)
29
22
と書ける。ラグランジュea(式(3.4))を用いることで式(3,46)は
d
24
12
dt
2
dt
dt
Al² = f ( 36 ) 2 + 0 + 9 = £ 10h à ) f (04/12 2 - L) = 0 (3.47)
⇒
となる。ここで、ハミルトニアンを次のように導入する。
24
H=
29
L
―(3.48)
すると、式(3,47)は
22

ページ23:

(3.43)
conah (3.7)
となりラグランジアンムがと陽存しない場合ミルトンは保存
これぶとがわかる。さて、ラグランジア
L-1m² - Uta)
0.44)
であるとき、ハミルトニアンは
ある
H=
24.
2x
-1 = mxx - {/ mx² - vec)
In
(351)
いった
となり、糸の力学的エネルギーと一致する。多自由度の系のラグランジアン
差は
4.1. (22 2. Zer
-(3.52)
のときも同様に、ハミルトニアンを
11
H=24-L
-(3.53)
と置くと、同様の議論が成り立つ。
3-7 ネーターの定理
ラグランジアンムに、任意関数f(212),t)の時間についての全微分項を
たすことを考える。すなわち、
L'(260), 2001, c) = 1, (2 (1), 2(1), c) + (2(c). c) - (354)
d
dt
ただし、fはらには依存しない。すると、式(354)で新たに作られたラグラ
ンジアンの作用 [[]]は
23

ページ24:

No.
Date
S[217] = [(2).2). )dt
ti
St² 4 (2(0), 2(4), 7) dt + f (2(t), tz) - f (2(4), t)
ty
=
[S[2(土)]+f(2(2), t2)-f(2(t) t)
55' = 55
-(356)
となり、これらの変分について
-(3.55)
となることがわかる。ここから」とは同じ系の情報が入っていると見なす
ことができ、これらを等価ラグランジアンという。
いま、ラグランジアンの変数を
hy → 2; + £ 2x = &z + Z Azz &z & 2, +52 = 2 + ΣA & (3.57)
==
と微小変換させることを考える。このとき、
L (2₁ +82;, 2 + 82₂ ) = L (2; 2; ) + f (2,0). - (358)
dt
であれば、変換の前後でラグランジアンは等価である。ただし、Aは、
微小変換を定義する ええの関数であり、そこは微小な定数である。
この変換のもとでのラグランジアンの変化 は
64 = 4 (hi + 520, 2; + fa; ) - 4 (20, 2; )
24
11
= =102 [Ay & + 14 z Angl
i
W
2
d,24
24
FA+A
= } & \ ok } Age; 1 = d + (2, 0)
dt
(3.59)
となる。最後の等号には式13.59)を用いた。いま、任意関数f
微小定数を」と任意の関数Bit)を用いて、
24

ページ25:

No.
Date
f = Σj Bj ε j
(3,60)
と書けるとき、その任意性から、式(3,57)は、
24
-
dt
= 0
(3.61).
となる。すなわち、式(3,57)の微小変換の前後で、ラグランジアンムが等価
であるとき、
24
(3.62)
は保存されることがわかる。ここで導入したQjネーターチャージという。
これを用いると、糸の対称性と保存則の関係に統一的な視点を与える
ことができる。まず、私時間並進
tttz.
(3.63)
に対して対称である場合を考える。ただしては微小な定数である。
すると、会う(t)(t)はそれぞれ
hilt) → Zilt + 2) = Zi(t) + 2; (t) =
2(t)→2i(ヒナで)=(t)+そう(t)と
(3.64)
と変換される。よって、ラグランジアンの変化SLは式(3.64)を用いて、
SL-
=
· Z z Z +
227.
JL+えて茹で
"
dh
dt
(365)
となり、時間についての全微分で書ける。これと、式(359) (361)を比べると、
22
Ai→2→B→4
であることがわかるので、ネーターチャージは、
(3.66)
25
KOKUYO LOOSE LEAR

ページ26:

Q=FL=H
(3.67)
となり、時間並進に対して糸が対称であるとき、ハミルトニアンが保存され
ることがわかる。次にN質点系(n=1.2….Nにおいて空間逆進
Xr → Xnt &
(3.68)
に対して対称性がある場合を考える。ただし、正は微小な定ベクトルで
あり、よって変わは変換の前後で不変である。また、いまは式(3.68)の
交換の前後でラグランジアンが不変、すなわち、f=0を考える。いま、
(m)(2=1.2.3)で、北の減分を現すことにすると、
£s → (Kn)ì_____Ɛ; ⇒ ( &)} Aij→ Sij
→(左) Bi→0
(3.69)
となる。したがって、ネーターチャージは、
N
N
24
I
n=17=1 2 (inli
n=1
g(n)
Σ(p) (3.70)
カニノ
となり、空間並進に対して糸が対称であるとき、系の運動量の和が保存
されることがわかる。さらに、1質点系北において、空間回転
x => x + √ # x x
(3.71)
に対して対称性がある場合を考える。ただし、SPは回転軸方向の微小回
転角の大きさを持つ定ベクトルである。また、物体の速度は
x → x † & ¢ x x
(3.72)
と変換される。これらの変換の前後で、ラグランジアンが不変、すなわちf=0を
考える。ベクトルの外積の成分が
(AxBlz=Zjk8ijk(A)(B)k
と書けることに注意すると、式(3.71)は
26
(3.73)

ページ27:

(x) = (x), + If I Ej k ( 8 ) f (x) +
と書ける式(3.72)についても同様であり、したがって
(374)
され
→(2)i
21(x); &>(); Aligh(x) Bj 20
→
Aikikok
(3,75)
となり、ネーターチャージは
aj
33 JL
(x) (x)k
=
Ej (2); (p) = (xx P) j
13767
となり安問回転に対して系が対称であるとき、系の角運動量が保存
されるとわかる。このラグランジアンがある変換に対して対称で
ある、それに対応する保存量が存在するという定理をネーターの定理
という。
27