Question

らんちゃん

立命館なんですか解ける方いませんか

とん/ 上0(0, 0. 0) を原点とする座標空間の点 A(4. 0. 0. B(0. 4.0)
1, 6 ) について, 直線 AB上の点をP, 直線 0OC 上の点をQとする4。
(!) 直線ABと直線0C が交わらないことを証明せよ。
() 2点P.Qの氏苑PQ の最小値を求め、 そのときの点Pおよび点0の友

求めよ。                                                   (和束 14 立会倍

Answer 1

LUX SIT

空間図形の具体的なイメージを浮かべるのが苦手な人が多いようです.
以下の解答で少し鍛えてみましょう.
***
(1) 直線AB, x+y=4, z=0は平面z=0上にある. 一方, 直線OCと平面z=0の交点は点Oである.
ここで点Oは直線AB上にないので, 直線ABと直線OCが交点を持つことはない
[図を書いて考えてみよう. ねじれの位置とは?].
***
[別解] 困った時は後半をこのように解いてもいいです. 遠回りですが.
直線OCは媒介変数tを用いて(t, t, √6t)と表せる. 直線ABと交点を持つなら
t+t=4, √6t=0を満たす実数tが存在するはずだが, そのようなtは存在しない[矛盾].
以上から直線OCと直線ABは交点は持たないといえる.
***
(2) s, tをある実数とする. 直線AB上の点Pは(s, 4-s, 0), 直線OC上の点Qは(t, t, √6t)と表せる.
条件が満たされるのは, 直線ABの方向ベクトルとベクトルPQが垂直かつ直線OCの方向ベクトルとベクトルPQが垂直な時である.
[点と直線の距離が最小になる条件を考えてみよう. 空間ではなく平面で十分です.]
すなわち(1, -1, 0)・(s-t, (4-s-t), -√6t)=0⇔s=2, (1, 1, √6)・(s-t, (4-s-t), -√6t)=0⇔t=1/2.
したがってPQを最小にする点Pの座標は(2, 2,0 ), 点Qの座標は(1/2, 1/2, √6/2)である.
また最小距離PQは√{(2-1/2)^2+(2-1/2)^2+(0-√6/2)^2}=√6と求まる.