Question

りーにゃん

何でk無しのこの形では表せないんですか❓

116 2直線の交点を通る直線
2 直線 ax +by+c1 = 0, azx+bzy+c2 = 0 が1点で交わるとき、この2直線の交点
を通る直線は, kを定数として
(ax + by + ci)+k(azx+bzy+c2) = 0
とおくことができる。
ただし, 直線 azx+bzy+c2 = 0 はこの形では表すことができない。
例
2直線 3x +y-10=0, x-y-2=0 の交点と点 (2,-4) を通る直線の方程式
2直線の交点を通る直線は, 直線 x-y-2=0 を除いて
3x +y-10+k(x-y-2)=0
とおける。これが点 (2,-4) を通るから 3･2-4-10+k{2-(-4)-2}=0
4k - 8 = 0 より k = 2
よって 3x +y-10 +2(x-y-2)=0
すなわち
5x-y-14 = 0

Answer 1

和

a1x+b1y+c1 +k(a2x+b2y+c2) = 0……☆
に対して、たとえばk=0とすれば
　a1x+b1y+c1 = 0
という直線の式がつくれます

また、k=1とすれば
　(a1+a2)x +(b1+b2)y +c1+c2 = 0
という直線の式がつくれます

このように、あらゆる直線の式がつくれそうです

しかし、実は、定数kをいくつにしても
a2x+b2y+c2 = 0はつくることができません
感覚的には、必ず「a1x+b1y+c1」が残って邪魔をするから
a2x+b2y+c2 = 0の式がつくれない、という感じです

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以下、怪しいですが、もう少し考えを進めてみます

☆を整理すると
　(a1+ka2)x +(b1+kb2)y +c1+kc2 = 0……☆☆
です
これがa2x+b2y+c2 = 0に一致するということは、
係数を比較して、実数tを用いて
　a1+ka2 = ta2
　b1+kb2 = tb2
　c1+kc2 = tc2
となるということです
（実数tを掛けたのは、t倍したta2x+tb2y+tc2 = 0が
☆☆に一致する可能性も残されているからです）

つまり
　a1 = (t-k)a2 ……①
　b1 = (t-k)b2 ……②
　c1 = (t-k)c2
です

ところで2直線a1x+b1y+c1 = 0とa2x+b2y+c2 = 0は
平行ではないはずなので（1点で交わる前提でした
a1b2≠a2b1です（平行でない条件

①にb2を掛けてa1b2 = (t-k)a2b2
②にa2を掛けてa2b1 = (t-k)a2b2
これらは一致してしまうので、平行でないことに矛盾します

矛盾したのは、☆☆、ひいては☆がa2x+b2y+c2 = 0を
表せると考えたことが原因です

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「kがなくなる」うんぬんというのは、
直接的に関係がありません
なんとなくの答えは、学習者を困らせます

Answer 2

花の一年後

私の学校ではkにどんな数を代入しても赤線の形を作れないからと習いましたよー