いて
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重要 例題 95
放物線と円の共有点 接点
00000
本
放物線y=1/2x2+α 円 x+y=16 について,次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するときの定数αの値
基本事項
本例で
(2)4個の共有点をもつような定数αの値の範囲 MOTO
CHART & SOLUTION
放物線と円
共有点実数解 接点重解
この問題では,xを消去して, yの2次方程式
4(y-a)+y2=16 の実数解, 重解を考える。
なお,放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をもつと
で、この問題の場合, 右の図から, 2点で接する場合と1点で接す
る場合がある。
解答
(1) y=1/2x2+α から x=4(y-a)
ただし,x20 であるから
ya
......
②直
① を x2+y2=16 に代入して
日 824(y-a)+y'=
よって y'+4y-4a-16=0
a=4
YA
[2]
の方程式
4
基本 88
1点で
接する
3章
2点で接する
if α=4 のとき,③は
y2+4y-32=0
すなわち (y-4)(y+8)=0
[2]
a=-4/
から,y=4(適), -8 (不適)
で重解をもたない。
y=-x+4
しかし,
の
AX
|x2+y2=16
連立方程式で,yを消去す
ると
(3)
[1] 放物線と円が2点で接する場合
2次方程式 ③は重解をもつ。
③の判別式をDとすると
0
x
4
~[1]
21-5
=16
星=2°-(-4a-16)=4a+20
整理して
x2(x2+48)=0
D=0 から
a=-5
この4次方程式は,2重解
12
円,円と直線,2つの円
このとき、③の重解は y=-2 であるから②に適する。 x=0 をもつから,点(0,4)
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から, 点 (0, 4), (0, -4) で接する場合で a=±4
[1], [2] から, 求めるαの値は a=±4,-5
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放
物線の頂点が,点(0, 5) 点 (0, -4 を結ぶ線分上端
点を除く)にあるときである。
よって、 求める定数αの値の範囲は -5<a<-4
PRACTICE 95º
で接していることがわかる。
同様に, α=-4のときx
についての4次方程式を導
くと
x-16x2=0
すなわち x2(x²-16)=0
(2重解),±4
から,x=0
をもつから 点 (0,-4)
接していることがわかる。
放物線と円の交点が4個とな
