はい、その通りです。
この文であればHe was so tiredまでが主節で、that節は従属節（副詞節）になります。主節で過去形が使われているので、that節の中では時制の一致が意識される必要があります。
以下余計な話です
戸惑いの理由を想像すると
so〜that… 「とても〜なので…」と覚えていると
例えばwhen〜 「〜するとき」などの典型的な従属節とは違って、従属節が主節にかからないように感じるから時制の一致を忘れてしまいがちなのかもしれないです。
ただ、そもそも従属節が主節にかかるように訳す、というのは日本語の構造上の問題であって
英語では
①He was so tired／that he couldn't clean his roomという文では
／の前まで読んだあと／の後を読んでいる
同様に
②He was sleeping ／when his mother arrived
という文でも
／の前まで読んで、その後に／の後を読んでいます。
②の文を「彼は、母親が到着したとき、寝ていた」
のように
従属節が主節の述語部分にかかるように訳すのは、
日本語の構造に関係することであって
どちらの場合でも英語の構造自体は同じです。
