Question

とんじる

（3）のやつで、頂点の座標を(p,p)としてやろうかなと思ったのですがそこから進みませんでした。教えてください

曲線で, 2点 (1,0), (-1,-2) を通る。
(3)上に凸の放物線で, 頂点が直線y=x上にあり, 2点 (1,1)
(2,2)を通る。
2x+3v=6 (x≧0.v≧0) を満たす実数x, y について, S=xy
a

Answer 1

和

頂点が(p,p)なら放物線はy=a(x-p)²+p (a<0)
これが与えられた2点を通るので、代入して
a(1-p)²+p=1
a(2-p)²+p=2
この連立を解きます

とんじる

pについて解こうと思いやったのですがここから進めることができませんでした。
やり方が間違っているのでしょうか？

和

見る気がちょっと起きないくらい大変ですね
連立は1文字消すことが基本です
変に展開すると文字が消しにくくなることが多いです

例1
a(1-p)²+p=1
a(1-p)²-(1-p)=0
(1-p)(a(1-p)-1)=0……①

a(2-p)²+p=2
a(2-p)²-(2-p)=0
(2-p)(a(2-p)-1)=0……②

確認ですが、①かつ②を満たすa,pを求めます
①よりp=1またはa(1-p)-1=0です
②よりp=2またはa(2-p)-1=0です

p=1のとき、②に代入してa=1ですが、
これはa<0に反するので不適です
よって、a(1-p)-1=0……③ です
（つまり①かつ②は、②かつ③と同値です）

また、p=2のとき、①に代入してa=-1です
これは①も②も満たすので、
a=-1, p=2は答え（の一つ）です

残った可能性はa(1-p)-1=0かつa(2-p)-1=0です
a(1-p)=1、a(2-p)=1より左辺同士等しいので
a(2-p)=a(1-p) ∴2-p=1-p
これを満たすpはありません

以上よりa=-1, p=2です

例2
a(1-p)²=1-p……①
a(2-p)²=2-p……②
p=1とするとa=1となりa<0に反するのでp≠1
すなわち1-p≠0です
①はa(1-p)=1になります

②÷①でaを消すと
(2-p)²/(1-p)=2-p
(2-p)²=(2-p)(1-p)
(2-p)²-(2-p)(1-p)=0
(2-p)( (2-p)-(1-p) )=0
2-p=0
p=2
①か②に代入してa=-1

とんじる

わかりました！
丁寧に教えてくれてありがとうございます