Question

kenT

写真の図におけるこの式(AP=BP+PC)の三角比を用いた証明ができないので教えて欲しいです。

a
B
D
a
し
AP-BPTPC

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ななみ

まず、補助線を引きます。
△PAC≅△C'ABです。
よって、AP=PC'=C'B+BP=CP+BPです。

kenT

補助線を引く求め方は知っているのですが、より直感的で分かりやすい三角比での力技のような求め方を教えてほしいです。

ななみ

円Oの半径をRとして、PB=2Rsin(BOP/2)、PC=2Rsin(COP/2)、PA=2Rsin(AOP/2)です。
また、BOP+COP=120°、AOP=60°+BCP=60°+BOP/2なので、
sin(BOP/2)+sin(COP/2)=sin(BOP/2)+sin(60°-BOP/2)=sin(60°+BOP/2)=sin(AOP/2)です。
つまり、PB+PC=PAです。
よくわからないところがあったら、きいてください。

kenT

回答ありがとうございます！

sin(BOP/2)+sin(60°-BOP/2)=sin(60°+BOP/2)

この部分がわからなかったです。なぜこの式が成り立つんですか？

ななみ

sinの加法定理からです。
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

sin(60°-x)=√3/2cos(x)-1/2sin(x)
sin(60°+x)=1/2sin(x)+√3/2cos(x)

よって、
sin(60°-x)+sin(x)=√3/2cos(x)+1/2sin(x)=sin(60°+x)です。

kenT

確認遅くなってしまいすいませんでした
よく分かりました！ありがとうございます！！