00000
p.264 基本事項
S
XOXsine
C
めても
10
あ
基本
例題
163 図形の分割と面積 (1)
次のような四角形ABCD の面積Sを求めよ。
平行四辺形ABCD で, 対角線の交点をOとすると
AC=10, BD=6√2, ∠AOD=135°
00000
AD//BCの台形 ABCD で, AB=5,BC=8, BD=7, ∠A=120°
指針
解答
/P.265 基本事項 2 基本 162
四角形の面積を求める問題は, 対角線で2つの三角形に分割して考える
(1) 平行四辺形は, 対角線で合同な2つの三角形に分割されるから S=2△ABD
また, BO=DO から △ABD = 2△OAD
よって、 まず △OAD の面積を求める。
(2) 台形の面積)=(上底+下底)×(高さ)÷2 が使えるように, 上底AD の長さと高
さを求める。 まず, △ABD (2辺と1角が既知) において余弦定理を適用。
CHART
四角形の問題 対角線で2つの三角形に分割
(1)平行四辺形の対角線は、互いに他を2等分するから
OA= =1/2AC=5,
OD=
ゆえに
よって
BD=3√2
AOAD
A
B
D
135°
O
-12 OA・ODsin 135°=123・5・3√2/1/12
S=2△ABD=2・2△OAD(*)=4•
15
55 2
=
267
(*) △OAB と△OAD は,
それぞれの底辺を OB,
OD とみると, OB=OD で,
|高さが同じであるから,そ
の面積も等しい。
[参考] 下の図の平行四辺形
C
の面積Sは
15
52
S=1/2AC・BDsine
=30
[練習 163 (2) 参照]
A
D
D
0
120°
5
7
(2) △ABD において, 余弦定理により A
72=52+AD2-2・5・AD cos 120°
AD2+5AD-24=0
4
4章
1 三角形の面積、空間図形への応用
ゆえに
よって (AD-3) (AD+8)=0
AD> 0 であるから AD=3
B
C
BH
C
8
頂点Aから辺BCに垂線 AH を引くと
AH=ABsin∠ABH, (
ZABH=180°-∠BAD=60°
(g)(ABAA
<AD / BC
よって S=1/12(AD+BC)AH
(上底+下底)×(高さ)÷2
-12(3+8)-5sin60=55/3
=CA
4
163 (1) 平行四辺形ABCD で, AB=5, BC=6, AC=7
練習 次のような四角形ABCDの面積Sを求めよ (O は ACとBD の交点)。
(2)平行四辺形ABCD で, AC=p, BD=g, ∠AOB=0
(3) AD / BC の台形ABCD で, BC = 9CD=8, CA=4√7, <D=120°
Sare
