Question

みみ

積分で体積を求める問題なのですが、（3）が分からないので教えて頂きたいです。なぜOR^2-OS^2で考えているのか分からないです。OQ^2-OP^2ではないのですか？

(3) 座標空間において、原点O(0,0,0), 点P(1, 0, 1), Q(2,1,0)を頂点とする三角形 OPQ を考える。
0≦t≦1のとき,点 (0, t, 0) を通り xz 平面に平行な平面Hと辺PQが交わる点の座標は
ア +t,t, イ -t であり,平面Hと辺OQ が交わる点の座標は
ウ .0)であ
tt, 0 である。
I
三角形OPQ をy軸の周りに回転したときの回転体の体積は
πである。 また,この回転体上の
オ
カキ
ケ
点で,z軸上の点(0,0, 2)に最も近い点の座標は10,
である。
ク
コ

A = {ax+by|x, yは自然数 } とするとき
1) abより大きい自然数はすべてAに属する。
2) Aに属さない自然数の個数は1/2 (a+1)(b+1)-1個
√14
y0から y=
6
√14 5
したがって、 回転体上の点で, z軸上の点0, 0, 号
である。
-/ [カキクケコ ]
い点の座標は 0, 6 3
(3)
t≠0,t=1のとき,辺 PQ と平面Hが交わる点をR とする
と,辺 PQ をt: (1-t) に内分する点であるから,
OR = (1 - t)OP +t0Q
=(1-t)(1, 0, 1) + (2,1,0) = (1+t,t, 1-t)
よって、
R(1+t, t, 1-t),
[アイ]
これはt=0,t=1のときも満たす。
また, t = 0,t ≠1のとき,辺OQと平面Hが交わる点を S
とすると,辺OQをt (1 - t) に内分する点であるから,
OS=toQ=t(2,1,0) = (2t,t,0)
よって, S(2t, t, 0)/[]
これはt=0,t=1のときも満たす。
2
(1) ドモアブルの定理から
a5 = (cos 27+ i sin 27 ) 5
=cos 2π+isin 2π=1... ①
① より 5 -1 = 0 であるから
(a-1) (a + a³ + a² + a + 1) = 0
αキ1であるから
小
1 + α + a + α3 + α = 0/[7] ...... ②
また,①から
(za)(za)(za)(z-α4)
= {z² − (a + a¹) z + a³} {z² − (a² + a³) z + a³}
={22+1-(a+o^)z}{z2 +1-(a2+α)z}
= (z² + 1)² − (a + a² + a³ + α¹) z (z² + 1)
+ ( a +α) (a2+α3)
( a + α2 + α3 + α4=1
(a+α4)(a2+α3)
(0, t, 0) とすると,
ここで②り
OI2 = (1+t)2 + (1 - t)2 = 2t2 + 2
O'$12=(2t2=42
= a + α4 + α6 + α7
であるから, 0≦t≦1のとき、
0<-
= 3 + α+α+a2 = -1
TORI2-10'$I2=2(1 - t) ≧ 0
であるから,
よって、 回転体の平面Hによる切り口の面積は
(za)(z-α2) (z-d3)(z-α4)
=(22+1)^2+z(z2+ 1) -22
)より)
ORI2-|O'SI2=2z(1-t2)
したがって、 回転体の体積は
= S₁² 2π (1 — t²) dt
V=
=2nt-
PQをy軸の周りに回転した曲面とyz 平面の交線について
z² = (1 + t)² + (1 − t)² ..., y = t ...
が成り立つ。
① ② から 22= 2y2+2, x = 0
= 24 +222 +1 +2 +z-22
= 1 + z +22 + 2 3 + 24
z=1を代入して
(1 - a) (1 - a²) (1 - a³) (1-α4)
= 1 +1 +12 +18 +14=5/[]
③
ここで、自然数nに対して,ド・モアブルの定理から
よって,
α" =
= (cos y + i siny)"
5
= COS 2+isin 2n
15
|1-a*|2 = |1 - (cos 2ng + i sin 2gz ) 2
=1-(1-2sinn)
nπ
nπ
-i (2 sin cos
-2
-2isin a cos
=4sin | sin-
= 4 sin²
nπ
icos l
点(0,y,z)と点(0,0, 22) の距離の2乗は
= -, -5z + 21 = (--) +
+(z-1/2)2=(1/122-1)+22-5z + 25
3
+25
4
= |2 sin²
52
13
よって, z= のとき最小となり,このとき
7
18
[ゥ]