Question

かや

赤から黄色のマーカーになるとこがわかりません💦
|x|<1は場合分けして考えるたら、x>0の場合x<1で当てはまる。x≦ 0の場合x ≧-1で当てはまる。となってしまったのですが‥、、絶対値記号はどのように外せばいいですか？1-x>0になるのですか？-1 < x < 1と出していいのでしょうか？
わかりづらい質問ですみません💦

例題
6
[
明の拡張
|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,次の不等式を証明せよ。
(1) xy+1>x+y
(2) xyz+2>x+y+z
(2)は,(1)の拡張と考えて (1)の結果を利用する。
(1) xy+1-(x+y)=(1-x)-y (1-x) = (1-x) (1-y)
L
|x|<1, |y|<1であるから 1-x>0, 1-y> 0
よって
(1-x) (1-y)>0 したがって xy+1>x+y 終
(2)|xy|=|x||y|<1, |z|<1であるから, (1) より (xy)z +1>xy+z
したがって
xyz +2>xy+z+1
さらに, (1) より
xy+z+1=xy+1+z >x+y+z
よって
xyz +2>x+y+z
で|xy|<1, |z|<1であることを示したのはなぜだろうか。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

綾野穂香

x≦0 のときは、x≦0 (場合分けの仮定) と 0<1 (明らかな事実) から x<1 です。絶対値を外さなくても場合分けの仮定を直接使うことで、1-x>0 を示すことができます。

かや

回答ありがとうございます。🙏
|X|<1だからXは-1<x<1でxがマイナスでもプラスでも必然的に1より小さくて、
赤から黄色のマーカーの意味は0が1より小さいのは当たり前だからという認識で大丈夫ですか？？

綾野穂香

> |X|<1だからXは-1<x<1でxがマイナスでもプラスでも必然的に1より小さくて、

その考察によって |x|<1 から x<1 を導くのも正しい考え方です。赤マーカーから黄マーカーを示すにあたって次の 2 つの手法が混じっているように見えるので整理します。

(手法A) x>0 と x≦0 で場合分けを行う。
[i] x>0 のとき |x|=x より x<1 である。よって 1-x>0 である。
[ii] x≦0 のとき x≦0 と 0<1 より x<1 である。よって 1-x>0 である。

(手法B) |x|<1 より -1<x<1 である。よって x<1 である。よって 1-x>0 である。

質問文の「|x|<1は場合分けして考えるたら、x>0の場合x<1で～」や回答文の「x≦0のとき～」は手法Aによる考察です。回答へのコメント「|X|<1だからXは-1<x<1で～」は手法Bによる考察です。どちらも正しい考え方です。

> 赤から黄色のマーカーの意味は0が1より小さいのは当たり前だからという認識で大丈夫ですか？？

赤マーカーから黄マーカーを示すためには 0<1 という事実を使いますが、赤マーカーから黄マーカーが成り立つ正確な理由は、"手法Aの全て" あるいは "手法Bの全て" です。ただ、手法B において |x|<1 から -1<x<1 を導く際には x の正負による場合分けを行っています。そのため、手法Aでも手法Bでも、本質的に重要なのは絶対値の場合分けということはできます。

かや

理解できました‼︎
とても丁寧にありがとうございました🙇‍♀️🙏