Question

ゆん

sin、cosがあるときの計算の仕方が分かりません
教えて欲しいです🙇‍♀️

3 【III型 必須問題】 (配点 40点)
a
を正の定数とし, 0≦02において、 0 の方程式
a sin 20-2a² cose-sine+a=0
Ⅲ型
を考える.
(1)a=1のとき,(*)を解け
(2)(*) がちょうど3つの解をもつようなαの値を求めよ.
(3)(*) がちょうど4つの解をもつとする。4つの解のうち最小のものをα最大のも
をBとするとき,+βの値を求めよ.

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

きらうる

(1)
a=1のとき、
sin2θ-2cosθ-sinθ+1＝0
→　2sinθcosθ-2cosθ-sinθ+1＝0
→　2cosθ(sinθ-1)-(sinθ-1)＝0
→　(sinθ-1)(2cosθ-1)＝0
→　sinθ＝1、cosθ＝1/2
0≦θ＜2πより、θ＝π/3、π/2、5π/3

(2)
2a×sinθcosθ-2a²×cosθ-sinθ+a＝0
→　2a×cosθ(sinθ-a)-(sinθ-a)＝0
→　(sinθ-a)(2a×cosθ-1)＝0
→　sinθ＝a、cosθ＝1/(2a)
θの範囲が、0≦θ＜2πなので、一部を除いてsinθもcosθもaや1/2aとなる値は2つあります。
例えば、a＝2/3のとき、sinθ＝2/3、cosθ＝3/4となるので、θの解はそれぞれ2つ持ちますので、合計で4つの解を持つことになります。

では、今回の問題は、3つの解を持つようなaの値を求めます。(1)でもとめたa＝1は3つの解を持っていますね。ではこのような3つの解を持つときは、sinθ・cosθがどのような場合かを考えると、(1)のようにsinθ＝1のときは、θ＝π/2しか解を持ちません。このように片方のsinもしくはcosの解が1つしか持たない場合を考えればいいことになります。
このような場合を考えると、sinθ＝±1もしくはcosθ＝±1のときにθの解が3つになると考えられます。
またaの範囲は、sinθ・cosθはともに-1～1の範囲にあるので(aは正の定数の条件も踏まえて)、0＜a≦1、0＜1/(2a)≦1　から、1/2≦a≦1

a＝1/2のとき、sinθ＝1/2、cosθ＝1
→　θ＝0、π/6、5π/6の3つが解になります。
よって、θが3つの解を持つには、a＝1/2と1

ここまでいかがでしょうか。

ゆん

とっても分かりやすいです！
(3)もお願いしたいです🙇‍♀️

きらうる

2つの問題を解答しましたが、答えはありますか？

ゆん

答えがまだ返却されてなくて😭
すみません

ゆん

もし良ければこれ以外の確率と数Cもお願いしたいです🙇‍♀️

きらうる

もしかしたら答えが間違っている可能性もあるので、そのあたりはご容赦を。
それから(3)は、自分の記述では大幅な減点を食らいます。ほぼ答えしか出せていないので。それもご容赦ください。

(2)で説明したように、aの範囲は1/2≦a≦1ですが、θの解が4つできるのは1/2＜a＜1の範囲になります。

sinθ＝aと1/2＜a＜1より、
→　1/2＜sinθ＜1
→　π/6＜θ＜5π/6、
cosθ＝1/(2a)と1/2＜a＜1より、
→　1/2＜1/(2cosθ)＜1
→　1/2＜cosθ＜1
→　0＜θ＜π/3、5π/3＜θ＜2π

aとθは連動して動くので、4つのθのうち、最大も最小もどちらもcosθの解であることがわかるから(次の写真参照)、
α+β＝2π

きらうる

写真

ゆん

ありがとうございます🙇‍♀️