Question

れもん

1枚目の2枚目の赤線部の違いが分かりません💦
お願いいたします🙏🏻

第1節 不定積分
143
置換積分法
F(x) f(x)の原始関数とする。 x がtの関数として x=g(t) と
表されるとき,y=F(x)=F(g(t)) は tの関数でもある。
g(t) が微分可能であるとき
dy
dx
=F'(x)=f(x),
dy=dy.dx=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)
dt dx dt
yを2通りの不定積分で表すと,次の置換積分法の公式が成り立つ。
置換積分法 (1)
1
f(x)dx=f(g(t))g'(t)dt
ただし, x=g(t)
x=g(t) のとき
dx
dt
=g' (t) である。
dx
=g' (t) を形式的に
dt
dx=g'(t) dt と書き表すと,上の公式1における式の変形が覚えやすい。
Sf(x)dx=Sf(g(t))g(t) dt
xをg(t), dx を g' (t) dt
におき換える。
不定積分 xvx + 1 dx を求めよ。
解答 √x+1=t とおくと x=f-1, dx=2tdt
fxvx+Idxf(1) 2t-2S(ピード)dt
=211号
+3
==
-263-5) +C=1/12(3-5)+C
2
ピ°(3t2-5)+C
- 1/3 (3x-2)(x+1)x+1+C
=
15
dx
=2t
dt

5
Cf(g(x))g'(x) OTE
積分変数t, x をそれぞれx, uに変えると,次の公式が得られる。
前ページの置換積分法(1)の公式において, 左辺と右辺を入れかえて.
置換積分法 (2)
2
[ƒ (g(x)) g'(x) dx = [f(u) du
ただし,g(x)=u
du
g(x)=u のとき g'(x)= である。 g'(x)=
du
を形式的に
dx
dx
[ƒ (g(x)) g'(x) dx = [ƒ (u) du
g'(x)dx=du と書き表すと,上の公式2における式の変形が覚えやすい。
g(x) をu, g'(x)dx を du
におき換える。
例題 次の不定積分を求めよ。
2
(1) Sx√x²+1dx
(2) Scos²x sinxdx
解答 (1) x2+1=u とおくと
2x dx = du
du
2x=
dx
Sx√x²+1 dx = 1½ √ √ x²+1 •2xdx
2
√
= S√u du = 1.2
23
3
-uz+C
18)
1
=/(x
(x²+1)√x²+1+C
(2) COSx=u とおくと
(-sinx) dx= du
−sinx=
du
dx
Scos'x sinxdx=-Scosx(-sinx) dx
3
= - Su² du = -1² + C = - 1 cos³x+C
3
3

不定積分

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Q&A専

両方とも式の意味自体は同じです。ですが、f(x)が単純に積分できないときに、f(x)の形を変える方法が2種類あるということが大事です。(部分積分ならできるのもあるし、置換積分じゃないとできないものもある)

れもん

回答ありがとうございます！！
1枚目と2枚目の解き方どちらを使えばいいか、見分け方などありますでしょうか？🙇🏻‍♀️

Q&A専

微分はどんな関数でもできますが、積分はその逆を辿るだけなので、全部の関数に対して決まったやり方がある訳ではありません...
なので、どの解き方が良いかは問題を解いて感じられるようになる必要があります。
置換積分は、同じ形が複数あったり、三角関数に置くと丁度よくなったり
部分積分は、log、e^xsinx
が主な目印だと思います。

れもん

分かりました！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️