✨ Jawaban Terbaik ✨
解答の記載は数式を列挙しているだけのようですね
以下のような展開を考えて記載されています
1/2ⁿcos(nπ/3)
=1/2ⁿ{cos(nπ/3)+isin(nπ/3)} の実数部分
=1/2ⁿ{cos(π/3)+isin(π/3)}ⁿ の実数部分
=αⁿ の実数部分 (α=cos(π/3)+isin(π/3)とおいた)である。
上記から、求める和：lim Σ1/2ᵏcos(ᵏπ/3) [k=0,…,n]
=lim Σαᵏ (k=0,…,n) = lim(1-αⁿ)/(1-α) …の実数部分
収束を確認（省略）し、 lim(1-αⁿ)/(1-α) ＝ 1/(1-α) の実部・虚部を
求め、実部が解となる。
Z-1/1-αをしているのは何故ですか...？
幅広く学習し、知識を付けてもらおうと、工夫して記載したものと思われます。
複素数で学習した「絶対値」と「収束」の性質を示したかったのでしょう。
・複素数Zの絶対値|Z|≧実部の絶対値｜Re(Z)| … ｜Z|≧｜Re(Z)|
の利用方法を示したかった。
・複素数Zの収束を確認するための、中心を控除、収束半径R(<1)を
示したかった（この問題の場合は、中心：(1/(1-α)、R：1/2）。
Zₙ－1/(1-α)としなくても、
Zₙ=(1-αⁿ)/(1-α)の実数部分を計算してしまってもよいです。
（虚数部分がどうなるか気になりますが、知りたいのは実数部分なので）
Zₙ=[1-1/2ⁿ{cos(nπ/3)+isin(nπ/3)] /(3/4-√3i/4)
=[1-1/2ⁿ{cos(nπ/3)+isin(nπ/3)] (3/4+√3i/4)/(9/16+3/16)
=[1-1/2ⁿ{cos(nπ/3)+isin(nπ/3)] (1+√3/3i)
実数部分は、
1-1/2ⁿcos(nπ/3)+√3/3/2ⁿsin(nπ/3)であるので、
n→∞のとき、1/2ⁿ→0、-1≦cos(nπ/3)、sin(nπ/3)≦1であるから
→1
絶対値をとるもう一つの理由
絶対値を付けると、0≦|cos(nπ/3)+√3/3sin(nπ/3)|≦2 となります。
左側は0以上にするのが基本の証明で、絶対値にすることが多いです。
マイナス処理のとき不等号が逆になることがあるなど、煩わしいからです。
絶対値が出てきたとき確認してみてください。
誤植訂正（αについて、1/2が漏れてました）
α=1/2{cos(π/3)+isin(π/3)}とおいた