Question

げすと

写真にある式の図解が知りたいです。
過去問に解説がないため、答えてもらえると本当に助かります。よろしくお願いします。

(2) 次の式で与えられる領域の面積は カ
|x-2|+ |y - 1| ≦ 2
x2-2x+y2 - 2y + 1 > 0
キ
ク
πである。

領域の面積 図形と方程式 円の方程式 絶対値

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

八重紅葉

まずは上の式の表す領域を、絶対値の中の正負で場合分けして求めていきます！

(ⅰ)x≧2、y≧1のとき
x-2+y-1≦2　⇔　y≦-x+5...①

(ⅱ)x＜2、y≧1のとき
-x+2+y-1≦2　⇔　y≦x+1...②

(ⅲ)x≧2、y＜1のとき
x-2-y+1≦2　⇔　y≧x-3...③

(ⅳ)x＜2、y＜1のとき
-x+2-y+1≦2　⇔　y≧-x＋1...④

のように4つに場合分けでき、これを書いてみると添付画像1枚目のようになります(手書きなので歪んでます🙇‍♀️)
x=2とy=1の2本の直線でできる十字の「右上」が①、「左上」が②、「右下」が③、「左下」が④にあたります
不等号を考えると、上の式が指す領域は①～④の4つの直線でできる正方形の内部ということになります(4本の直線の傾きは-1と1しかないので、交点を持つものは必ず垂直に交わります)

次に下の式を式変形すると(x-1)²+(y-1)²＞1となり、この式は「中心(1,1)、半径1の円の外部」を表しています
この2つをグラフに表すと画像2枚目のようになり、求める面積は赤色と青色の領域が被っている面積になります。

わかりにくくなってしまい申し訳ありませんが、画像三枚目のように図形を分解すると求める面積を出すことができます
答えは7-(1/2)πになるかと思います🙇‍♀️

八重紅葉

3枚目の画像について補足です。

正方形の一辺は2√2になりますので、正方形の面積は2√2の二乗で8

三角形は円の直径が底辺、半径が高さとみなすことができるので、2×1×(1/2)=1
画像で言うと斜めの2辺は直交しているので、その部分を底辺、高さとみなし、√2×√2×1/2=1と計算することもできます

半円の面積は(半径)²πの半分より、1×1×π×1/2=(1/2)π

求める面積は「(正方形)－(三角形)－(半円)」で求めています🙇‍♀️

げすと

丁寧な解説でとても助かりました！ありがとうございます！