Question

あや

演習β 21回 6
(2)マーカー部分がなぜこうなるのか分からないので教えてください。

6 [2010 千葉大]
を
(1) 3"=k+1 を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。
E (2) 3"=k-40 を満たす正の整数の組(k, n) をすべて求めよ。
解答
m は正の整数とする。
(1) 3″=k³+1=(k+1)(k² −k+1)
k+1≧2から,k+1=3m
3"=3m{(3m-1)-(3-1)+1} から
3"m=32m-3.3m +3
In kazmy)
3n-m-1=32m-1_3" +1
よって
右辺は3で割ると1余るから
n-m-1=0
① とおく。
3m-1-1=0
13 (3-1-1)=0
このとき, ②
ゆえに
ゆえに, ①,③から
(2)3=k²-40から
k2-3"=40
[1] n=2m のとき k2-32m=40
よって
mの値を出せばい
kが求まる…..
(k+3)(k-3m)=40
k+3">k-3m> 0から
21312
よって
(k, n)=(2, 2)
んは正の整数であるから
塩から
3²m-23m +1-3+1+1
= 3²m. 3 m (-2-1) +3
²3²m-3-3m +3
m=1
(k+3m, k-3)=(40, 1), (20, 2), (10, 4), (8, 5)
let} ™=20
J
21:23
Kay
......
13:3
-3 m = -9
3m = 9
を考
数
M
(k, 3)=(11, 9), (7, 3) + 6 = 2
ゆえに
(k, m)=(11, 2), (7, 1)
よって
(k, n)=(11, 4), (7, 2)
[2] n=2m-1のとき k2-32m-140
40 の一の位は0であるから, ④より, k2と32m-1の一の位が一致する。
ところがんの一の位は1, 4,5,69であり, 32m-1の一位は3,7であるから
矛盾。よって, ④ を満たす (k, m) は存在しない。
[1], [2] から (k,. n)=(11, 4), (7, 2)
30445

整数問題

Answer 1

あいる

1～9までを二乗してみると
1,4,9,16,25,36,49,64,81
となり1の位は1,4,5,6,9に限られます。

mに1を代入してみると3の1乗になるので3、
2を代入すると3乗になり27、
3を代入すると5乗になり243となり、
1の位が3か7に限られます。

ということでは無いでしょうか…？？