Question

べーた

解説の解説して貰えませんか？これ系苦手なんですよね

41 0でない複素数からなる集合Gは次を満たしているとする.
Gの任意の要素 z, w の積zw は再びG の要素である.
n を正の整数とする. このとき,
(1) ちょうどn個の要素からなるGの例をあげよ.
(2) ちょうどn個の要素からなるG は (1) の例以外にないことを示せ
[京都府立医大〕

解答
(1)
{cOS 2kT
k = 0, 1, ...,
(π |
,n-1}
①
9
n
n
これが条件をみたすことは, G の要素は1のn乗根の全体であり, α" = 1,
G
=
+ i sin
2kл
β" = 1 ならば (αβ)"=a"B"=1であることからわかる.
(2) G = {α1,α2,… αn} とおく. G の任意の要素を z とすると,
zα₁, zα2, ..., zan
ZX1, ZX2,
(2
20だから 1 ≦iキj≦nのとき
の要素で,
は仮定によりすべて
zai zaj であり,これらn個はすべて異なる. したがって②は全体とし
て α1,2,…, an と一致するので,これらのn個の積から

252 [41]
(zai) (zaz)... (zan) = 0102･・・ On
12
(-1)=0
[フォローアップ]
.. z” = 1
(α; はすべて 0 ではないのでα102･･･ α キ0)
以上から G の要素はすべて方程式 z" = 1の解であるが, この解はちょうど
n個あり,それらが①だから, G = ① である.

複素数 積で閉じた集合