Question

しめじ

数3微分で質問です。
(1)の7行目、少なくともひとつが±1でないというのは、どちらかが±1だったら自動的にもう片方が±1(符号逆)を持つためと言うので合ってるのでしょうか。(ほかの回答でそう書いてる人がいまして既に書き込んでますが、、。)
仮に1と8が解だったとしても分母0になってだめじゃないですか。

例題 176 極値をもつ条件
次の関数が極値をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
20
x-a
(1) f(x)=
(ただし,αキ ±1)
x2-1
(2) f(x) = (logx)^2-2ax (ただし, a>0)
= (0)1
頻出
★★★
z milzAO)

Action ≫ f(x) が極値をもつときは, f'(x)=0 の解の前後で
(1) この関数の定義域は x キ±1
(x²-1)-(x-a) 2x
x2+2ax-1
f'(x) =
(x-1)2
(x2-1)2
関数 f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x) = 0 が実
数解をもち,その実数解の前後で f'(x) の符号が変わる
ことである。
よって, (x2-1) 20 であるから, 2次方程式
x2+2ax-1=0･･･ ① は少なくとも1つが±1でない,
異なる2つの実数解をもつ。
① の判別式をDとすると
D
4
=
=a²-1 kb a² −1>0
(a+1)(a-1) > 0
D> 0
a<-1, 1 <a
少なくともにがさ
だったら、自動
に解になるから.
ゆえに
ここで,①が2つの実数解 x = ±1 をもつとすると
(水) -1+2a-1=0 かつ -1-2a-1=0
であり,これを満たすαは存在しない。
したがって, 求めるαの値の範囲は a<-1, 1<a

微分 数3

Answer 1

Crystal Clear

①はxの2次方程式だから実数解xが0,1,2のいずれかで、極値を持つには実数解が2つでないといけない。
これだけでも十分でなくて、2つの解のうち例えば一つがx=1だとすると、x=1の前後でf'の符号が変わるのはその通りなんだけどx=1がf(x)の定義域に入ってないので、f(1)は極値ではなくなる。
(グラフを想像するとx=1が漸近線になってx<1で∞に増加してx>1で∞から減少してくる、もしくは-∞に減少して-∞から増加してくるような)
極値は1つあれば問題文の条件にあうから、上のように1つならx=1とかx=-1で極値が潰れてもいいけど、両方がx=1とx=-1に重なると極値が0個になるから不適。そんな感じ