Question

つくし

（1）の問題なんですけど、普通に解いたら左の答えになるのは分かります。しかし、右の解き方の逆関数を用いると違う答えになるのはなぜでしょうか？誰か教えて下さい💦

問題1. 次の関数を微分せよ。
(1) sin" V3x, (2) cos-' 2.x , (3) tan-' Xー」
2
(4) y
V3
((5x) =
-3x
【解】
1
() (sin" J5x)
-1
-(5x)

Sim
逆関教だから、グズ2 Sin 3?
d2C
- B cos 57
2
2
BcOS34
51- Sms)
31-スー)
B
351-メ)

逆三角関数の微分

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

piss

最初が違います。
y=arcsin √3x
とおいたら√3x=sin y
ですよ。

つくし

教えて下さりありがとうございます。
sinとかcosの関数だけ特殊ってことですか？
例えば、y＝（3x＋2）^2みたいな合成関数とかでも、逆関数だと、yとxを入れ替えるだけですよね？

piss

逆関数の定義を考えてみると良いと思います。
例示してくださった関数は(定義域の問題はあれど)関数の形が良く、結果的に逆関数がxとyを入れ替えたものになるだけでただしい導き方ではありません。
むしろ例示してくださったケースが特殊なので勘違いなさらぬ様。

つくし

なるほど。三角関数以外で、入れ替えただけの式にならないのは例えば他にどんなものがありますか？

piss

入れ替えたものという意味を私が誤解して解釈していました。
つくしさんの意味で行けば逆関数ならどんなときでもyとxを入れ替えた式は成立します。
ただもともと送ってくださった解答は入れ替えたものになっていないのでは？
単純に入れ替えるのならx=sin^-1√3yであってx=sin√3yではないのではないでしょうか？

つくし

（y＝sin√3xの）逆関数だからという意味で用いました、すみません。逆関数の式が単純にyとxを入れ替えるだけで成立するのなら、x＝sin√3yになりませんか？
何度もすみません。

piss

はい。y=sin√3xの逆関数をy=g(x)とするならx=sin√3 y=sin{√3g(x)}は成り立ちます。
ただ微分を求めたいものはy=sin^{-1}√3 xですよね。逆関数の微分法を適用する式がy=sin√3xではダメでしょう。

つくし

自分は（3）と同じやり方でしたつもりなんですが。

piss

同じやり方になってません…！

piss

yの置き方をよくみてみてください。

つくし

分かった気がします。何度も何度もすみませんでした！