Question

ATB

大門3の(3)で△QACがACを底辺として鈍角三角形の可能性もあると思うのですが、そうすると内積0となるRが線分AC上にない可能性がないとは言い切れない(今回はたまたま鋭角三角形だっただけ)と思います。なのでこの解法は不適切だと思うのですが、どう思いますか？

ちなみに僕はQRの距離の二乗をsの二次式に持ち込んで最小値を出しました。

3
座標空間内に
を頂点とする四面体OABCがある。t> 0に対して半直線 OB上の点Pを
OB:OP = 1:tとなるようにとる。
stod
Japanesc
(1) 内積AC· APをすを用いて表せ。
J 関
(2) AAPC の面積を S(t)とおく。 S(t)が最小になるtの値と, そのときの S(t)
の値を求めよ。
出薬
(3) 点Qは直線 OB上にあり, 点Rは直線 AC上にある。 線分QR の長さの最
tは
小値と,そのときの点Rの座標を求めよ。
鶏曲 8
面①

(4) {c.)
式を使わず、bー6,=2"*1-1 とb,+) =26,+n+1から b+1を消去して、
3/22
AC-QR-
4
V11
3/22
QR=
2
よい。
. QR=
3/2
4
2
(答)
(1) OB:OP=1:1 (1>0) より
OF=1OB= (, 0, -1)
AC=V11 より
|3|解答
OR= (1, 2, 2) +s(1, -3, -1)
= (1+ s, 2-3s, 2-s)
AC=OC-OA= (2, -1, 1) - (1, 2, 2)
OR= OR - OQ= (1+s, 2-3s, 2-s) 0. -
AF=OF-OA= (, 0, -)-(1, 2, 2)
13
= (t-1, -2, -t-2)
6
よって
ACIQR より
AC-QR=0
AC-AF=1-(1-1) +(-3)·(-2) + (-1)·(一t-2)
15
=2t+7 ……
.(答)
TACP=1°+(-3)*+ (-1)?=11
IAPP=(t-1)*+(-2)?+(-t-2)?=2"+2t+9
2
22
-=0
11s-
3
S=
3
S(t)
=ACHAFF-(AC-AF)
ゆえに R 09
解 説》
1-S
(答)
=11 (2+ 2t+9) - (2t+7)?
く空間座標、三角形の面積の最小, 線分の長さの最小》
(1) OF= 1OB であるので,AP の成分をtで表し, 内積を計算一
18-6t+50
99
(2) 面積の公式S=aHoパ-(a-b)* を用いる。根号内がt
2
>0より, S(t) はt=ーのとき, 最小値
3/22
なるので,平方完成して最小値を求める。
(3) △APC の ACを底辺としたときの高さを考えれば, (2)7
ときが、QR が最小となるときであることがわかる。
(2)を用いず, u, vを実数とし
OQ= uOB= (u, 0, -u)
をとる。
(答)
4
(3) (2)で, △APCの面積が最小となるのは, ACを底辺としたときの高
さ,すなわち直線 OB上の点と直線AC上の点の距離が最小となるときで
ある。したがって, 点Qは点Pと一致し Q
また, QRの最小値は面積が最小となるときの ACを底辺とした高さであ
0,
6
るので
OR =OA +oAC= (1+0, 2-3v, 2-)