Question

赤色

名門の森32番の(5)番で質問があるのですが、
最後の三角関数の式は(2/d√k/m cos√k/m(t-π√m/k)はどのように式変形すれば答えに書いてあるようになるのですか？
教えてください。

96
力学
ECHURE
(1) Aの座標を
と表されるの
32 単振動
ばね定数kの軽いばねを滑
らかな水平面上に置き, 右端
に質量mの小物体Aを付け。
左端を固定する。ばねの方向
にx軸をとり,ばねが自然長
のときのAの位置をx=0 と
する。そして、質量3mの物
体BをAに押しつけて, ばね
を自然長からdだけ縮めた後。
静かに放す。
(1) 動き始めてからしばらくの間は, AがBを押しながら運動する。
このときAがBを押す力の大きさNをAの位置:の関数として表せ。
(2) AとBが離れるときのAの位置:および, 離れた後のBの速さ u
を求めよ。
(3) 動き始めてからAとBが離れるまでの時間 toはいくらか。
(4)Bを放したときを時刻=Qとして, Aの位置xの時間変化を表
すグラフを上の図に描け。
0mmm
LAS
0
AはBから」
えて、Aの道
d
A:
m
この式は
ばねが自然
性力が左向
一方,F
2。
Sto
0.2カ
(2) BがA
つまり
ばねが縮
然長を超
なお、
の上で
自然
カた(5) t2(to)での Aの速度ムを時刻tの関数として m, k, dを用いて
一体と
時
じゃない
表せ。\まではACBO年院)(山口大+東京学芸大)
Level(1)~(3) ★ (4) ★ (5) ★★
(3) 離
Base
ばね振り子
(x=
Point & Hint
O O
なる
(1)作用·反作用と, xが負の値であるこ
とに注意して, 運動方程式を立てる。
(2) 離れるときに注目すべき量は… ?
(4) 2つの量を求める必要がある。
(5) 単振動の時間変化は sin ot や cos.ot
を用いて表すことができる(位置速度。
加速度,力について)。
周期
m
T= 2π\ R
m
振動中心は力の
0 O
つり合い位置
※ばねの力のほかに一定の力
と
が加わっても周期は不変。
た
レ………
F00m-

ECHURE
)Aの座標xが負で,ばねの縮みが-x
と表されるので, 弾性力は k-(一x)
AはBからNの反作用を受けることも考
えて、Aの運動方程式は- Oか合。
加速度
→ a
A
B
m
3m
N →N
00
き
…0 持つ 弾性力
T
x
0
A:
ma = -kx-N
この式はxが正になっても成り立つ。
ばねが自然長より xだけ伸びていて, 弾
性力が左向きになるから。
一方,Bについては
xが負であるこ
G-
とに注意。
B:
3ma = N
一垂直抗力の
一的的な式になっている
3
D,2からaを消去すると
N=- kx
2) BがAから離れるときはN=0 となるから, 上の結果より x=0 ここん、
つまり,自然長の位置で離れる。 もちろん, それは直観的にも明らかである。
ばねが縮んでいる間はAを右へ押して加速するからBが離れることはないし, 自
然長を超えるとばねの力がAにブレーキをかけるからである。
なお,離れるときは N=0 だが、N=0 になると必ず離れるとは限らない。式。
の上で N=0 から N<0になるとき離れるのである。今の例はそうなっている。
自然長の位置にきたときのA, Bの速さがuとなっている。ここまでは
一体として扱えるので, 力学的エネルギー保存則より
d
k
うkd*= (m+3m)u
=n
2V m
(3) 離れるまでは A, B一体となっての単振動である。力のつり合い位置、
(x=0)が単振動の振動中心であり,静かに放した位置(x=-d) が端と」
1
4
なる(振幅はd)。端と中心の間は
周期で動けるから
m
==×2/m+3m
ニ
k
k
なお,単振動の振動中心では速さは最大となる。最大値をVmax とする
と,振幅をA, 角振動数をωとして, Vmax =Aoと表される。ま
た,T =
2元
の関係があるので, (2)の uは次のように求めてもよい。
の

=m
k
m+3m
u= Umax = Aw = d
2元
=d.
(4) Bが離れた後は, Aだけの単振動に
d
ーd
0
なり、周期も振幅も変わってくる。そ
2
の
れぞれ T', A' とすると
小王
図a
m
T'= 2π、
= 2to
k
る。
ニ
x
I.
力学的エネルギー保存則より
-mu' = kA'2
0
to
2to
3to
d
2
d
. A=uk
m
2
-d
周期2to 一
II
こうして、図aのように運動し,
図b
周期 2to を考えてグラフにすると,
図bのようになる。
VA
(5) 時刻 to のとき振動中心にいて, 最
u
大の速さuであることと,周期 2to
を考慮すると,その後のひの時間
0
2t。
3to
Lev
ーu
変化は右のようになる。to以後は
cos 型の曲線だから, to以後の時間
Poi
を(=t-to), 角振動数を ω'とす
グラフから cos 型
カ
と見きわめる。
突
ると
扱
2元
等
(t-t)
V。= u cos W't'= u cos
T'
k
COS
k
t
m
d
m
TA
k
cos。
_d
2V m
=ー
CoS
2V m
t
m
い。
Sla
る …..