Question

aaaa

二次方程式の問題なのですが、解と係数の関係を使う(2)は解けたのですが、(1)のkの範囲と(3)が分かりません。解答、解説どちらかでも構いませんのでよろしくお願いします

【2】 kを定数とする.2次方程式 f(x)=Dx°+(4k-3)x+3kは, f(x)=0で
2つの実数解 a, 3をもつ, ただし、,0<α<1<3とする。
以下の問いに答えよ。
(1) kの範囲を求めよ。
2
1<k<
3
(2)(3-a)ををを用いて表せ。
(3-a)=[4|5|
6|7
k+
8
(3) aと3の差が整数でkが有理数であるとき、 k,a,3の値を求めよ。
9
k=
10
11
12
13
B=
14
II
さ
I

二次方程式 数２

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

としさん

(1)
　0＜α＜1＜β より
　　f(0)＞0,f(α)=0,f(1)＜0,f(β)=0

　　f(0) = 3k ＞ 0 より k＞0

　　f(1) = 1 + 4k - 3 + 3k = 7k - 2 ＜ 0 より k＜2/7

　ゆえに 0＜k＜2/7

(3)
　解と係数の関係より
　　α + β = -(4k - 3)

　　αβ = 3k

　(β - α)² = (α + β)² - 4αβ　= (4k - 3)² - 4*3k　= 16k² - 36k + 9

　β - α が整数なので (β - α)²も整数。

　16k² - 36k + 9 = n (nは0以上の整数) と置くと

　16k² - 36k + 9 - n = 0

　D = 18² - 16(9 - n) = 16n + 180

　16k² - 36k + 9 が整数となるには kは有理数でなければならず、少なくとも 16n + 180 が平方数でなければならない。

　16n + 180 = 4(4n + 45)　より n=1のとき 平方数となる。
　　※ ここは少し手抜きしました。

　16k² - 36k + 8 = 0

　4(4k² - 9k + 2) = 4(4k - 1)(k - 2) = 0 より k = 2

　k = 2 のとき
　　f(x) = x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0

　　α = -3 , β = -2

aaaa

本当にご丁寧にありがとうございます。とても助かりました。