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文系
(1)cos5θ＝f(cosθ)を満たす多項式f(x)を求めよ。
(2)cos(π/10)cos(3π/10)cos(7π/10)cos(9π/10)＝5/16を示せ。
理系
(1)すべての実数θに対し
cosnθ＝fn(cosθ),sinnθ＝gn(cosθ)sinθ
を満たし,係数がともにすべて整数であるn次式fn(x)と
n−1次式gn(x)が存在することを示せ。
(2)fn'(x)＝ngn(x)であることを示せ。
(3)pを3以上の素数とするとき,fp(x)のp−1次式以下の係数
はすべてpで割り切れることを示せ。
(京都大)