ノートテキスト
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82.1 集合
Date
集合・・・範囲がわかっている集まり
要素…集合を構成する集まり
例1
A:1桁の素数を集めた集合
A
2
5
3
2はAに属するといい
2EA
4はAに属さないといい。4EA
で表す。
・血液型
A
0
B
AB
・くわがた
新潟
集合の表し方
①要素をすべて書き出す方法 ②条件をかく方法
(1)18の正の約数の集合A
A={1,2,3,6,9,18}={x1xは18の正の約数}
(2)20以下の正の偶数の集合B
1 要
条件
B =
{2,4,6,…,16,18,20}
=
32xlisxs10.xは整数}
(3) 自然数全体の集合N
N=1,2,3,
}
{n/nは自然数}
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-U
Date
(1)CはAの部分集合といい.
CCA
ACC と表す。
(2) AとBどちらにも属する箇所を共通部分といい。
ACBで表す。
(3)A×Bののどっちか一方に属する箇所を結集合といい。
AUBで表す。
例4
A={1,2,3,6}とB={1,2,3,4,6,123
の関係は
B
B つ A
4,
12
もし、C=11.2
3.6} ならば
(1,2
'
A
=
C
a
例5
集合{a,b}の部分集合を求めよ。
答
${a}{2},{a,b}
の計4つ!
に{}かかない?
実は部分集合は要素の個数で調べられる!
Point (部分集合の個数)
ある集合(要素の個数がん個)の部分集合の個数は
2η(個)である。
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(point) ① 共通部分 ③ 補集合 ②名集合 17090 AUB ANB このUを全体集合という (Union) A ◎ 補集合の性質 ①ANA=$ AUA=U ③=A ④ACB⇒ AB
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75736
(1)A= 1,2,3,6} B = {2.4.6.8.10}
AnB = {2,6}
AUB
=
{1,2,3,4,6,8.00}
(2) A={x10xxく3,xは実数}
B=1x12≦x≦5,xは実数}
ANB={x12≦x<3,xは実数子
AVB=fx10xx=5,xは実数}
のとき
8
B
10
0
2
3
5
1597
U12, 3, 4, 5, 6}
A={1,2,3}, B=33.6} とする。
ANB
①AnB = {3}
AUB Ā 4 A n B
②AUB = {1,2,3,63
A = 4,5,6} 4 A
n B
= {6}
1
+
↓
↓
Aじゃない
{4,5,6}
13,63
・☆(ド・モルガンの法則)
①AUB
=
An B
B
2
4 5
②ANB =
AUB
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研究
例1
Date
A={3,6,93
B={1,2,3,6}
について① ANBAC ② AUBUC
C=32,4.6.8}
③ (AB)UC
④ An(Buc) ⑤(AB)UC
を求めよ。
①ABAC={6}m
イメージ
A
2
② AUBUC = {1,2,3,4,6,8,9}
(AMB) UC= {3.6} UC
④ An(BUC)
=
〃
{2,3,4,6,88
An{1,2,3,4,6,8}
B
{3,6}, (かっこ)の順で求めたい
要素が変わる!
3
⑤(AnB)UC={9}UC
{2,4,6,8,9}
4
8
C
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Date 82.2 命題と条件 命題…○か×かが明らかになる文や式。 例 (1) x=2ならばx=8だ。 (2)シャーペンの芯は炭素からできている。。 (3) 藤岡は優しい←基準がわからない (4) 1億は大きいん 命題ではない (5)この命題は誤っている 真なら… おかしい 偽なら これもおかしい。 パラドックスという。 (1)のような ならばである」形式のパターンが ~ 仮定 結論 上 これを記号を用いて ⇒国」と表す。 正しければ真 誤りであれば偽といい。 偽の場合は反例(例外)を1つ出す必要がある。 (1)x:実数とし、≦2x4 真 仮定の数がすべて結論を満たす。 多い。 mi自然数とし、 mが12の正の約数 介 1000000} mが24の正の約数 ①②③.④.6.8.12.24} ⇒mが12の正の約数 注 mが24の正の約数 偽 反例 m=24 or m=8 仮定は満たして 結論は満たさない。
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(3)x:実数とし、-1<x<1 これは偽 反例 ⇒x>0 x=0やx=-0.5など ◎必要十分条件 fdef)(必要条件/十分条件) 命題が真であるとき、 Pは&であるため の十分条件であるといい、 &はPであるための必要条件であるという。 Pは兄であるための 4パターンある ①必要十分条件(どっちも口) ②必要条件 ( &PのみO) Date (2) ③十分条件 ( p ⇒ & 9 7 0 ) ④必要条件でも十分条件でもない(どっちも×) ⇒ 必要十分条件はP && pがどちらも成り立つので、 P& と表す。 Pの内容と兄の内容が同じなので同値ともいう。
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(3)x:実数とし、-1<x<1 これは偽 反例 ⇒x>0 x=0やx=-0.5など ◎必要十分条件 fdef)(必要条件/十分条件) 命題が真であるとき、 Pは&であるため の十分条件であるといい、 &はPであるための必要条件であるという。 Pは兄であるための 4パターンある ①必要十分条件(どっちも口) ②必要条件 ( &PのみO) Date (2) ③十分条件 ( p ⇒ & 9 7 0 ) ④必要条件でも十分条件でもない(どっちも×) ⇒ 必要十分条件はP && pがどちらも成り立つので、 P& と表す。 Pの内容と兄の内容が同じなので同値ともいう。
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Date (例 (1)「千葉に住むこと」は 日本に住むこと」 必× 反例:「東京に住む」 であるため、 の 十分 ◎反例は P&のときPを満たしているが を満たしていないものを探す ▷ (2) x=3 はx=9であるための 十分 (3)x=0 ※x(x=-3) であるための 必要十分条件 必〇 +X(x=-2) x=1であるための必要 (4) 2≥X は ◎条件の否定 point(否定で変わる記号や言葉) = C","E NI " " H ③ または かつ ④ 少なくとも一方は ともに ⑤ すべての ある ⑥P ←P(Pじゃない)
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Date AB≠ACまたはAC≠BC 例 ①AB=ACかつAC=BC 否 ×は有理数 xは無理数 ③x20 → X=0 ④xyyg 少なくとも一方は偶数x、yはともに奇数 ⑤ すべての実数xについて、x≧0 否 ある実数xについて。 ◎逆・裏・対偶 (Doint 千葉県に住む」 ⇒「日本に住む」 裏 「千葉県に住んでいない」 ⇒「日本に住んでいない」 対偶 「日本に住む」 ⇒「千葉県に住む」 裏 日本に住んでいない」 ⇒「千葉県に住んでいない」 ☆元の命題と対偶の真偽は一致する! 例13 xi実数としたとき、x=1 ⇒x=1の逆、裏、対偶 を述べよ 逆: x=1 => x= 偽 反例 x=-1 裏: #110: x² + 1 xキノ ⇒ => x² = 1 偽 反例 = 真 元の命題と逆、裏の真偽は一致しないこともある。
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Date ◎対偶法 例題1 n:整数とする。次の命題を証明せよ。 ηが偶数ならばんは偶数である。 proof この命題の対偶は T んが奇数ならばんは奇数である。」 Jerne 必ずか これを示せばよい。 んが奇数なので整数をを用いて、 n=2+1 とできる。 そこで、 n² = (2p+1)² ・対偶の証明 = 4+4+1 =2(2歳+2)+1 2k+2度は整数なのでには奇数である。 よって対偶は真である。さらに元の命題も真である。口
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◎背理法 Date poin 「~でない」「少なくとも」 背理法で楽に! 1004 例題2(改) 左が無理数であることを用いて、 (1)1+2√2が無理数であることを示せ。 (2)恒+が無理数であることを示せ。 (1) proo 1+2回が有理数だと仮定する。 すると、有理数を用いて、1+2=rとできる。 1+2√√2=8 r r-l 2. 無理数有理数 は有理数なので、が無理数であることに矛盾する。 したがって1+2が有理数と仮定して矛盾が生まれたのだから 1+2度は無理数である。口 (2) proof √2+√3が有理数だと仮定する。 すると、有理数を用いて、√2+3=r とできる。 √2+√ √ 3 r = r-√ 22楽 〃 ピー2r√2+2 25√√2 = √ = 2-1 2r ar は有理数なので、石が無理数であることに矛盾する。 したがって仮+は無理数である。
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te 仮が無理数であることを証明せよ proof 恒が有理数と仮定する。 √√2 =(P,は整数で互いに素) √2p=& 2p2 = &...(t) gは偶数である。 とでき、 ここでgは偶数⇒&は偶数であることを証明する。 対偶「ひが奇数⇒びが奇数」であることを示せばいいから 整数を用いて、q=2k+1と表せる。 b^2=(2k+1=44歳+1=2(2+2)+1 2+2は整数なのでは奇数である。 したがって、対偶は真。さらには元の命題も真。 兄が偶数なので整数lを用いて、q=2lとできる。 (☆)に代入して2p2 = (x² 1. P2=2l2 同様にしても偶数となる。 しかし、Pとが偶数であることは互いに素であることに矛盾。 したがってJは無理数である。□
ページ14:
◎転換法 point (転換法) Date 一連の真である命題P, &,,P292があって ①仮定 P1 P2 P3はすべての場合をつくしている ② 結論&1&2.9」はどの2つも同時に成り立つことがない。 この2つを満たしているとき。 逆&P1, 92 P2.··· はすべて真である。 例 △ABCにおいて、次の[1]~[3]が成り立つ。 このことを用いて[1]の逆が成り立つことを証明せよ。 ただし、BC=a,CA=b,AB=Cとする。 [1]LCは鋭角 >> a²+ ľ² ><² proof [2]<cは直角⇒a+b= [3]LCは鈍角a+bc <Cは鋭角が直角か鈍角のいずれかである。 a+b²ンであると仮定する。・・① もしく㎝が直角であればa+b=となり①に反する。 <Cが鈍角であれば、a+bccとなり①に反する。 直角でも鈍角でも仮定にならないので、LCは鋭角である。口
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Date 無限降下法 自然数に関する証明に使われる。 (例) proof x² x+2y=4m(n≧3,自然数)を満たす 自然数x.n,Zが存在しないことを示せ +2y=4で・・・①を満たす自然数x,y,z が存在すると仮定する。 x=4-2y = 2 (22" - 4h) よりは偶数である。 どが偶数⇒上は偶数である。(対偶法にて証明可) つまり自然数を用いてx=2とおける。 これを①に代入して h (2 (2)+2gn=4Z 2g=4z-2だ y = 27" -2h-1 th y=2 gh = 2(2n-21-2 1") iyは偶数 ふyも偶数 自然数lを用いてy=2l とおくことができ、②に代入すると、 (2k)+2(2l)=4z 48 = 2 + 2nden. 4z n l 2(2 h-3 n-2 だ+2 l") いざはは偶数 ふそは偶数
ページ16:
つまり自然数を用いて Date Z=2mとすることができ、 ③に代入すると (2F)+2(2ℓ)=4(2m) " + 21" Ja ×2 = 4mm となり、4は①を満たす。 自然数x,y,zが①を満たすならば自然数、、も 満たす。 このことを繰り返すと、任意の自然数Nに対して、 自然数は①を満たす。 ところがNを大きくすると、12/27は自然数にならない。 これは矛盾である。 したがって、①を満たすx,y,zが存在すると仮定 したことが間違いである。 よってx+2y=4でを満たす自然数x,y,z は存在しない。
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