ページ3:

Date
降の順
ある文字に着目して次数が低くなるように
順序を並び替えること
例
ax+2a+x-3+x
次数 2
ついて降羃の順にすると
xについ
+ (0+1) 31 (20-3)
0
aについて降羃の順にすると.
(x+2)a,+x+x-3,
因数分解に
次数1
役立つ。
整式の加法・減法
A = 3x²- -5x+2
B=2x²+x-4
(筆算)
A+B=13x-5x+2)+(2x²+x-4)
=5x²-4x-2.
致
A-B=(32-5x+2)-(2xx=4)
=
3x²-5x+2-2x+4
こ
x²-6x+6
致
ひき算は符号のミス注意!
⇒()を書かないことで符号忘れがち
3x-5x+2
+) 2x²+
x-4
5x2-4x-2
3x²-5x+2
-) 2x²+x-4
x-6x+6

ページ4:

Date
81-2 整式の乗法
ax ax a = a
のようにaをん個かけたものを
指数
F
an乗」といい。
「」と表す。
It=, a, a², a³, をまとめてQの累乗という。
指数法則
m.ni整数とする。
m
① am xan
mn
=
②(am)n
③(ab)
A
=
mn
a
=
an an
①
x34
3×3×3×3×3×3
-6.
= 3°
32
34
②(22)3=2×2×22
③(左辺)=6=216
(右辺) 23.33
11
8.27=
216
例
(1)
30×
a+
=
3a
(2)2xy×(-5xyz)=
(3)(-3x²ng)3
=
-10 x + y³
-2×5 x³×x
6 3
- 27 x y
(-3)³ (x3)³
yxye
A(B+C)
分配法則
A ( B + C ) = AB+ AC,
AB+AS,
(A+B)C
AC+ BC
15') ·3x² (x² + 2x-4)
=
=
3x
3x².x + 3x². 2x + 3x² (-4)
+6x³-12x² 11
· (2a ² - 3a + 5) a
=
2a2a-3aia +5.a
203-30²+5a
ll
S

ページ5:

Date
整式,多項式の積の形で表された式を和や差の形で表された
式へ直すことを展開するという。
PE (4x²-3x+1)(x+2)
<方法> 分配法則の応用みたいに行う。
(4x³-3x+
⑥
(x+2)
①~⑥の順にかけ算を行う。
=4x-3x+x
x
6x+
0620220) 同類項でまとめる
=
4x²+5x-5x+2.
↑
水の多い順に整理(降べきの順)
(別解) 筆算で解く
4x²-3x+1
x)
x +2
4x²-3x²+x
+8x²-6x+2
4x² + 5x² -5x+2 ← 終わり

ページ6:

Date
☆展開の公式
①(a+b)=a+2ab+b2
②(a-b)^2=a-2ab+b
③ (a+b) (a-b)=a-b
(x+a)(x+b)
ズ+(a+b)x+ab
⑤ (a+b)(c+d)=ac+ad+c+d
例(1)(x+2=x+4+4
(2) (a-3) a² - 6a+9
=
(3) (4x+3y)(4x-3y) = 16x²-9y²
(4)(x+2)(x-3)=x-x-6
(5) (x+y)(z+7)
=
い
4
xZ+7x+yz+7y
(※これは1度中学3年までに身についているはず)
これらを用いて、工夫していく。
い
例題」
(a+b+c)2 を計算せよ
a+b=
Aとおくと、
(a+b+c)^2=(A+c)2
=
A2+
+2AC+C2 =(a+b)^2+2 (a+b)c +
a²+2ab+c^2+2ac+2bc+c2
・⑤
C²

ページ7:

これを並び替えて..
(a+b+c)²=a+b+c+2ab+2ac+2bc
「例題」
(1)(x²+x-1)(x-x+1)
(2) (a+b)² (a-a)²
<解答>
AR
Date
(1) (x²+x-1) (x²-x+1)
=(x+x-1){(x-1)}
ここでx-1=Aとおくと、
= (x²+ A ) ( x²- A)
=>"~A² = x²+- (x-1)² = x" - (x²-2x+1)
-A
1
24-x²+2x-1 #
指数法則 ③
(ab)=and
(2) (a + b)² (a - b)²
=
}(a+b)(a-e)}
と同じだよ
=
(a²-1²)²
考え方は他にも
= Q4 - 2 a² €² + 64
(a+b) (a+b)(a-b)(a-b)
に分けて
(a+b) (a-b)(a+b)(a-b)=(a-b²)(a-b²)でも
同じことがいえる。

ページ8:

Dato
因数分解
II
+
1つの整式(多項式)を積の形で表すこと。
展開
因数分解
(x+2)(x+3),
因数
○共通因数による因数分解
2
例
2ax
+baxy
11
12axx+ +2.3.xy
なので、
・共通因数
共通因数は
()の外へ!
2ax²+6axy=2ax(x+3g)
例2 (a-b)x+
(h-a) y
似てる...
(a-b)x+(b-a) y=(a-b)x-(-b+a)y
「因数分解の公式
① +2ab+ b = (a+bs
②-2ab+b^= (a-b)
③
2
© a² - h² = (a+b) (a - b)
④ x+(a+b)x+ab
④x²
= (a-b)x-(a-b),y
(a-b)(x-y)
=(x+a)(x+b)

ページ9:

例 x+8x+16.
4 ・ 4
Date
x2+2×4×x
42
(x+4)²
• 9 x² - 6 x y + y² = (3x)² - 2 × (3x) x y + y²
4x²-9y2
(3 x - y ) 2
(2x)2- (34) 2
(2x+3)(2x-3),
x26x+
8 =
x² + (2 + 4) X
す
2x4
(x+2)(x+4)
x²-2xy-8y2= xe+(2g-4g)x+{2y×(-4g)}
(x+2y) (x-4)
◎たすきがけによる因数分解
3x²+14x+8を例に見ていく。
11
3x2
+
14x +8
4
⇒3×4=12L
2
⇒1×2主
2
1x3=3>
3
←
3x²+14x+8=(x+4)(3x+2)
(x+1)(2x+2)
4
3
ここは絶対たし算
その係数と一致したらok
2←
たすき」の横の部分

ページ10:

mia
例
2x
x +3
-1
=
-2
2
=+)-3
-3
^
-(-3)=35)
2x²- 5x + 3 = (x-1) (2x-3) 11
4xxy-5y 2
2
-5
3
-10
2
=+) 2
4x²- 8 x y - 5 y² = (2x-5) (2x+1) ||
因数分解の工夫
例題
(1) (x + y)² + 2(x+4)-15
x+y=Aとすると(置換)
A2A-15=
+
(2) x4 -3x²-4
x2=Aとおくと、
(A+5)(A-3)
= (x + y + 5 ) ( x + y-3) 11
A 2-3A 2-4 = (A-4) (A+1)
=(x-4)(x+1)
=(x+1)(x+2)(x-2)11

ページ11:

Date
例題2 x+xy+x
+
2y
2
(Point
次数が大きい文字でまとめる!(複数の文字がある場合)
もし同数ならどちらかの文字でまとめる!
今回の次数は xは2,yは1なのでxでまとめる。
x²+(y+1)x+2y-2
=
x² + (y + 1 ) x+2(y-1)
= (x + 2 ) ( x + y + 1)
※
例題 3
2x² + 5x y
+
3y2-3x-5y-2
xでまとめると、
2x²+(5y-3)x +3y2-5y 2
y - ?
-2
2x²+(5y-3)x+(3y+1)(y-2)
2
y-2
3yt1
=
24-4
=+) 33 +1
57-3
=(x+y-2)(2x+3n+1)
2+ +(y-1)=y+l.

ページ12:

Date
例題4
a (b²-c²)
+
h (c² - a² ) + c ( a²- b²)
aについてまとめると、
-
(c-b) a² + (a²- c²) a = b²C + b c ?
h c + b²
共通因数
= (c- a) a² © (c²-e²) a - lc (b-c)
Ð
= (c-a), a² - (c+h) ( C - b), a ® bc (C-b),
=
[発展]
(c-h) { p² - (c + h) a = hc }
(C-w) (a-a) (Q-C)
・3次式の展開と因数分解の公式→
3
© (x + y)² = x² + 3x²Y + 3x y² + y ³
© (x - y) ³ = x² - 3x² + 3x^y³ - yo
.
15'] (x+1)°³ = x² + 3x² + 3x + 1 ||
D
· (2x-7) ³ = 8x³-12x²y + 6x y² - y³
共通因数(c-b)
松公式
③x²+ y³ = (x + y ) ( x² - x y + y² )
-
4 x³- y³ = (x − y ) ( x² + x y + y²)
例 <展開)(x-2y)(x+2xy+4g)=x-8yo/
(D) x² +64 = (x+4) (x² - 4x + 16)

ページ13:

<まとめ>
Date
展開 公式
→使えなかったら分配法則のゴリ押し
一因数分解の手順
①共通因数
公式(x+y)(x+y.(xty)(x-y) のような形にする。
L(x+a)(x+a)
③たすきがけ
13+173
④次数の大きいものでまとめる。
※「○○の範囲で」という注意書きは見ておこう。
基本は整数の範囲である。
例 実数の範囲なら
x-2=(x+√2)(x-1)
もok。

ページ14:

Date
第2節 実数
定義
自然数…,正の整数。
〇は含まない。
・整数
具体的には
114
負の整数とOと正の整数で構成されている。
からなる数
2,-1,0,1,2,
・有理数・分数の形
分数の形(nmは整数でmキロ)で
表される数
(1) 有理数の分類
例① == 0.25
⇒有限小数
2
14 /== 0.666..
無限小数のうち循環小数
T &
こ 031818..
22
循環小数の表し方として
・←循環する数字の上に・
②は1/
= 0.666.. = 0.6
7
は
= 0.3181818
=
0.318
22
③の仲間で1/17=0.142857142857
0.142857
118で循環している
から初めと終わりの数の
上に。
と書き表す。

ページ15:

問循環小数 0.18を分数で表せ。
Date
解 0.18
= 0.181818
=
A
とおく。
100A = 18.18 18 18
であり、
-)
100 A
18.18 18
A
1
0.18 18
99 A
18
18
A
=
18
99
A
従って
0.18
-
2|=
11
(ii) 実数
実数... 整数と有限小数または無限小数で表される数。
無理数…有理数でない数。ex) √√、π など
一実数
有理数
・有限小数
0.2,-0.65
・循環小数…0.6.0.25
整数
負の整数
自然数
0
-3,-2.
etc
1,2,3
4,
etc.
無理数
√2-√3.π
など

ページ16:

Date
◎数の範囲と四則計算
数の範囲 加法(t)減法(-) 乗法(x)除法(÷)
自然数
整数
0
有理数
×
X
0
○
実数 9
①
2
2-4= -2 となり結果は整数の値になる。
1÷2=0.5(=1/2)となり結果は有理数の値になる
②と同様、
絶対値
数直線上における○からの距離といい、
実数αの絶対値をlalで表す。
例18
121=
2
1-31-3
しかし、
x1
=
正に2進む
絶対値に正負は
関係ない!
負に3進む
2 のときのとは?
→
x=±2
0からの距離が2となるとは?
☆絶対値は聞かれるところで土がつくかどうか変わる!

ページ17:

Point
(絶対値の性質)
① lal≧0
AZO
のとき lal
a
のとき lal
=
例19
(1)|5-3|
〃
121
2
(2) 3 51 1-21
+
=
2
ーけ
(3)11-11
=
1-N2x
-a
aが負だから結局符号は+
Date
( 1-1.414... )
になってしまう!
⑩ 11-121=-(1-2)=√2-1.
↑
#
注 無理数があるときは数の大小に注目!
◎数直線上の2点間の距離
2点A(a),B(ℓ) 間
の距離は
A
a
AB=lb-alで計算できる!
-
&
xの増加量等にも
使っているよ!
例1
L
この計算でもう間違わない!
2点A(4) B(-2)間の距離は
AB
=
4-(-2)
=
6
B
A
-2
0
4

ページ18:

Dstu
例20
1.2.5 根号を含む式の計算
(1)3の平方根は±3 ⇒2乗して3になる数は土
(2) 49
point
例21
7
1-49× できない(実数)
=7(=(-7))
√√√x = x
(1)√√√√5
.
=
√15
(2)
=
√√20 22.5
2.5
例22
(1) 6√2+ 2. 3√√√2 =
6x + x -3x
4x
√2と3は別物としてみる!
(2)43-√12-27
=
4√3-2√3-3.3
〃
例23
(1) (2.3-√5)(√3+4√5)
6+8√15-√15 20
-14+7.15. +
(2)(5+2)(55-√2)
√5²-√2²
=5-2=3
$

ページ19:

有理化
T
2
3√2
3.12 X
356
N
例題6
の分母を有理化せよ
√ √
解答
応例4
X-
Date
√5-√2
√2(√5-√2)
√io-2
√TO-2
3
√5-№2
5-2
(x+y)(x-y)=x-y
を使うのだ!
2C= √5+3 y=ss-Fのとき、次の値を求めよ。
(1)x+y
解答
xy
・基本対称式
<準備> 有理化
(2) x² + y²
1
x =
x
J5+J
√5+√3
1
y-
(1)
=
√5-3
x+y= №5-√3
xy
=
+
×
×
√5-√3 5-√3
√5-√3
√5+√3
√5+√3 √5-√3
=
こ
( 2 ) x² + y² = (x + y)² -
=(x+y^2-2xy
C+
√5
=√552-2×1/2
53
+
2.√5
5-3
=
=
√5-√3
2
J5+√3
2
5.
+
5-1
4
+

ページ20:

Date
◎2重根号
例
(1) 8+2店
たして8
かけて15
となる2つの数字を考える。
×
a
b
たすと
1
15
16
3
5
80
-1
-15
-16
10
-3
-5
-8
2つの数字とは3と5
〃 〃
8+2.15
〃
=
(5+店)なので
8+2√5 N(同+店
Point (2重根号)
①(a+b)+2ag
②N(a+b)-2,ag
Ja + ha
=√a-Ja
=
B+5
(但し、 正の数のみ)
※O←この中身は十でなければならないから
25-256
=
(一)
=
√√√3 (- 12 x 15 x )
(だから×)
=
(2)√8-4.13 8-2
無理やり作る!
=
一√(+になる◎)
WW6-√212
=
(3)√4+√15
8+2√15
N8+2NT5
〃
2
無理やり作る!
(+)
√2
√5+√3
N10+√6
√2
2

ページ21:

☆対称式
Date
基本対称式…xy.xyの2つの計算順序を交換
しても成り立つ。
x² + y² = (x + y)² - 2xy, x² + y² = (x + y) - 3xy (x+y)
が頻出だが、+yの形は基本対称式で表せる。

ページ22:

Dato
§1.3.6 1次不等式
「より小さい」「未満」・・・<>
T
以上」
例24
7
を使う
以下」
爪≧
を使う。
次の事柄を不等式で表せ。
(1)ある数xの3倍から5ひいた数は10より小さい
3x-5<10
(2)2つの数a,b の和は正で、5以下である。
>o
例25
①2と3の大小関係は
2 < 3
Oka+b=5
-2と3の大小関係は-2> -3
②2と9の大小関係は
2 <
9
ke
と
の大小関係は
2
=-4
-10
2-10-
化
rpoint (不等式の性質)
A-B のとき
下記以外は不等号はそのまま
Cが日ならば
x÷のとき不等号をひっくり返す?
×(-1)
A<B
(-2)
-A >-B
A > B

ページ23:

81.3.7 1次不等式
Date
例27
不等式32-5<10
解答
を解け。
32 5 < 10
3x < 15
移項してOK!
☀+
F6
x<5
例28
不等式 2x-7≦5x-1を解け。
2x-75x-1
か
-3x=6
1÷(-3)しているから不等号の向きを逆に
x=-2
例題7
次の1次不等式を解け。
1/2x+1=1/2x-1/2
3
(point)
分数があるとき → 分母の最小公倍数でかける
小数があるとき →10倍、100倍
をする。
2と3の最小公倍数は「6」なので×6すると
6x(x+1) ≧6.(1/2x-1/12)
8x+6
≧3x-2
5xz
-
.8
x≧ 号
#
0000/5
&
6
B

ページ24:

Date
◎連立不等式
例29
(1)
(2)
より
x≧-2
x<5
-2≦x<5
X = 3
I > O
より、2≧3
例題8
次の連立不等式を解け。
5x+3>3x+1
[11
-x+42(x-1)
解答
①より
5x+3>3x+1
2x>-2
②より
x+4
x>-1
≧2(x-1)
-2C+42x-2
-3x=-6
x ≤ 2
①と②の共通部分より
>x
5
x
3
-1 < x ≤ 2
の
共通部分
2

ページ25:

◎3元1次不等式
4-
-x<3x<x+4を解け
から
Date
<大
のうち2つ選んで
立不等式にする。
解答
3x
4-X<3X
<xc+4
①より
4-x<3x
4<4x
x
より
3 X
< x +4
2x< 4
x < 2
①と②より1<x<2

ページ26:

Date
応例 5
次の不等式を満たす最小の自然数nを求めよ。
200+12(n-10) ≡ 15h
解答
200+
12 (n-10) ≤ 15h
200+
12n-120 ≡ 15n
80≦
3 h
3n z
80
80
こ 26.6...
つまり
n = 266... だから
これを満たす最小の自然数んは27
応例 6
*
1個60円の品物Aと1個100円の品物Bを
合わせて50個買い,100円の箱に詰めてもらう。
また、合計金額を4000円以下にするとき、
品物 Bは最大で何個かえるか。
解答
品物Bをx個とすると、品物Aは(50-x)個とできる。
答えたいものを個
60(50-x)+100x+100=4000
€ 3900
3000-60x+100x
40x = 900
X = 45
22,5
X22.5
これを満たす最大のxは22.
品物Bは最大で22個

ページ27:

$1.3.8 絶対値を含む方程式・不等式
Date
絶対値・・・数直線上の距離
1-21=2,131=3
必ず+になる
絶対値は外して使うことが多い!
必ず数直線やグラフをかく!
例30
(1)
1x1=3
方程式では、絶対値を外す⇒さをつける!」
121=3
121=3
2
=
±3
-3
0
3
(2)
1x1 <3
x
具体的な数を入れて
-3<X <3
確かめ
(3)
1x1 ≥ 3
x ////
x
具体的な数を入れて
-3
3
x<-3, 3<x
確かめ
例題 9
次の方程式・不等式を解け。
(1)1x-2
= 3
(2) 1x+1| < 4
(3) 12x+1=3
解答
7
(1)1x-21=3
(2)-4<x+1-4
x-2
すべての項に-1
x=
2±3
-5<x
< 3
x=5,-1
(3)12x+11≧3
2x + 1 < -3
2x<-4
X<-2
3<2x+1
2 <20
<x

ページ28:

Date
研究
◎絶対値と場合分け
?どういうときに場合分けするの?
→ 絶対値の中と外に文字式があるとき。
例2
(1) 1x-21
3x
が+かーかを考える
8x-2
(1)x-220 のとき(つまり、x≧2)
X-2 =2 3x
-2=2x
×
条件
x = -1
となり条件に適さない。
(ii) x-2 <O のとき(つまりx<2)
-(x-2)
-x+2
= 3x
32
X-
22
x =
立
条件に適している。
したがってx=1/12

ページ29:

(2)1x-21≦x
①
(i) x-220 のとき(つまり×22)
X-2 = 3x.
-22x
X≥-I
条件
Date
条件との共通部分はx=2 ①
(ii) x-2<0 のとき(つまりx<2)
-(2-2)=3x
-x+2=3x
-4x=-2
x≧///
条件との共通部分は1/2≦x<2
①、②を合わせた範囲は1/2=x
1
2
x
キ

ページ30:

ate
例 1x1+21x-21
=
5
①
①では、
②では
2
より大きいか小さいかで
+
0" より大きいか小さいかで
+
符号が変わる。
(i)
②
(ii)
(iii)
++
①②
x
0
2
(i) X <8 のとき
条件
(-x)+2(x+2)=5
- 3x+4
-3x=
5
1
2C=
3
(ii) o≦x<2のとき
x+2(-x+2)
55
-xc+4=5
=
5
条件にあわない
-x=1
x=4
条件より不適
(ii) 2≦x のとき
x+2(x-2)
= 5
3x-4 = 5
3xc =
9
X
=3
(i), (ii), (ii) £') x = - 3/1, 3
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