【Ⅱ型：円】9月第3回全統記述高3模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

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去年の
自学

2025.09.17 公開

高3 数学図形と方程式全統模試過去問赤城 math 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅱ型
3 【I型共通 必須問題】 (配点 50点)
tを実数とする. 座標平面上に円
C:x2 + (t-8)x +y^ - 2ty + 12 = 0
があり,その中心をP,, 半径をr とする.
(1) P,の座標を求めよ. また, tがすべての実数を動くとき, rの最小値を
求めよ.
(2)tの値に関わらず, C, が通る点の座標をすべて求めよ.
(3) tがt > 0 の範囲を動くとき, C, の通過する領域をDとおく.
(i) Dを求め, 座標平面上に図示せよ.
(ii) Cに内接する円のうち,その内部がすべてDに含まれる円を考える.
そのような円のうち, 半径が最大の円をKとする. Kの中心の座標と
半径を求めよ.

ページ2:

自学 @Akagi
C:x2 + (t-8)x +y^ - 2ty + 12 = 0
t-8.
(1)平方完成すると(x+1-8)2 +(-1) = (1282 +1-12
+(y-t)²
5
-)2
· · (x + 1 − ³)² + (y−1)² = ニュー
-12 -4t+4
2
よってP,(=1+8, 1)
t)
2
2
5
8
4
また, 半径は r= -12-4t+4=
t--
+
14
8
よって,rはt=このとき最小値5をとる。
5
2-5
||
S

ページ3:

(2)C,上に点(X, Y)があるとすると
x 2 + (t-8)x + Y2 − 2tY + 12 = 0
tについて整理すると
(X-2Y) +(X2-8X + Y2 +12)= 0
これがtについての恒等式となればよいので
| X-2Y = 0
| x2 - 8X + Y2 + 12 = 0
この連立方程式を解く。 Xを消去すると
(2Y)-8(2Y) +Y2 + 12 = 0
∴. 5Y2 - 16Y + 12 = 0
..(5Y-6)(Y-2)=0
:.Y =
=
2
5'
12
4
したがって (
(), (4, 2)
5
5'
5

ページ4:

(3)t > 0
i. (2)より (X-2Y) + (X2-8X + Y2 +12) = 0 •••••• ①
ある点(X, Y)が領域Dに含まれる
tについての1次方程式 ①がt>0の範囲に解をもてばよさげ。
1次関数 y = at + b が右半分で解をもつ
ア傾きが正のとき,切片が負
傾きが負のとき, 切片が正
ウ傾きが0のとき,切片も0
(a>0かつb <0)
(a<0かつb>0)
(a=b=0)
X-2Y>0
ア
X2 - 8X + Y2 + 12 < 0
X-2Y<0
| X2 - 8X + Y2 + 12 > 0
Y<-X
2
【(X-4)' +γ2 <4
X
√ √ > x
2
(X-4)2 + Y2 > 4
12
ウ (2)より2点(
(), (4, 2)
5
これらを座標平面上にお絵かきすると･･･

ページ5:

y
265
12
5
かなり変だけど
x

ページ6:

(3) やりたくない･････
ii. 図のように線分ABの中点を M,
直線 MPと円 C の交点のうち
第4象限にあるほうを Nとする。
条件を満たす円 K の中心の座標
は線分 MN の中点, 半径は線分
MN の半分となる。
265
+4)÷2, (+3+2)+2)=( 16, 34)
5
B
A
M
Po
25
12
4
►
M(1/23 +4
8
8
5
▷ 直線 M Po の式y=
(x-4) y=-2x + 8
16
5
N
▷ 直線 M Po(y=-2x+8)と円 Co ((x-4)2+y2=4)の交点
40 ±√80 20 ± 2√5
(x-4)2 + (−2x + 8)2 = 4
∴.5x2 - 40x + 76 = 0
..x=
20+2√5
よって, N の座標は (
4/5)
5
①と②の中点が円 K中心の座標だから
1620+2√5
・+
5
-
10
2
5
-4√5.
18+√5
-)÷2,
+
-) ÷ 2)=(-
4-2√5)
5
5
5
5
(M Po+ PoN) 2が半径。
ここで
MP (4-
16.
8.
4
-
+ (0.
よって
PN=半径=2
(MP+P,N)+2=(4√5+2)+ 2 = 2/25 +1
=
たぶん外分点の公式を使う問題だと思うけど外分きらいだから・・・