基礎問
63 内接球外接球
「基礎
できな
本書で
効率よ
右図のように直円錐の底面と側面に球が内
接している。直円錐の底面の半径を6,高さ
を8として,次の問いに答えよ.
8
■入
取り
行
実
■基
題
(1) 球の半径R を求めよ.
(2)直円錐の側面と球とが接する部分は円で
ある.この円の半径を求めよ.
(1)(2)とも基本的な扱い方は同じです. それは
■に
精講
① 空間図形は必要がない限りは空間図形のまま扱わない
ある平面で切って, 平面図形としてとらえる
(別解ⅡI) ∠ABD=0 とすると
4
tan 0=
3
だから, cos0= 3
5' sin0=
5
RAO cose より
R=(8-R).
.. 8R=24
よって, R=3
:.5R=24-3R
(2) AO=5,OE=3だから
AE=√52-32=4
△ABC∽△AEF で
相似比は 10:4, すなわち,
5:2だから,EF=1/2BC=234
次の問題点は「どんな平面で切るか?」 ですが.
②球が接しているときは (内接も外接も同様), 球の中心と接点を含むような
平面で切るのが原則です.
したがって、この立体の場合, 円錐の軸を含む平面で切ればよいことになり
ます.このとき,三角形とその内接円が現れるので,59" にあるように,中
心と接点を結びます。
よって、求める円の半径は1/2EF=1/2
(別解) EF=OE sin0×2
=3×13×2-24
5
よって、求める円の半径は,212EF=1/2
解答
(1) 円錐を軸を含む平面で切り、 その
断面を右図のようにおく.
このとき,
ABDAOE だから,
AB:BD=AO OE
ここで,AB=√62+82=10
BD=6, AO=8-R, OE=R
:. 10:6=(8-R:R
A0=8-R
10 E
109
注 このように直角三角形がたくさんあるときは,三平方の定理だけ
ではなく, 三角比も有効な道具です。 (6)
ポイント
E
1800F
RO
球が立体に接するとき, 中心と接点を含む平面で切り,
平面図形として扱う
R
0
B
6
D
演習問題 63
.. 6(8-R)=10R
よって, R=3
(別解Ⅰ) △ABCの面積=48 だから, AB = 10 より
1/12 (12+10+10)R=48
∴.R=3
187
右図のように直円錐が球に内接している
円錐の底面の半径を6, 高さを8とするとき,
この球の半径Rを求めよ.
第4章
