数学
高校生
解決済み

ある過去問を解いています。解答が分からないので答え合わせお願いいたします。

k=±2なったのですが合っていますでしょうか?

2枚目に途中式書いていますが、正しいでしょうか?

5.2次関数 y=-x2+2kx+7はx=3のとき最大値をとる.このとき、定数 kの値を求めよ. 1
+7 2 Y=-(x-k)²-k²+7 x=k -K² = 3-7 -k² +7-3 - k² = -4 k² = 4 k = ±2

回答

✨ ベストアンサー ✨

確認をしてみます

①k=-2のとき
  y=-x²-4x+7
   =-(x+2)²+11 x=-2のとき最大値11

②k=+2のとき
  y=-x²+4x+7
   =-(x-2)²+11 x= 2のとき最大値11

違うようです

mo1

解いてみます

y=-x²+2kx+7
 =-(x-k)²+k²+7
  x=kのとき、最大値k²+7

●条件[x=3のとき最大値をとる]より
  k=3
    
確認
  y=-x²+2kx+7

 k=3のとき
  y=-x²+6x+7
  y=-(x-3)²+16
   x=3のとき最大値16

mo1

解いてみます

y=-x²+2kx+7
 =-(x-k)²+k²+7
  x=kのとき、最大値k²+7

●条件[x=3のとき最大値をとる]より
  k=3
    
確認
  y=-x²+2kx+7

 k=3のとき
  y=-x²+6x+7
  y=-(x-3)²+16
   x=3のとき最大値16

mo1

チェックしてみます

①平方完成に勘違いがあるようです
  誤:y=-(x-k)²-k²+7
  正:y=-(x-k)²+k²+7

②問題の解釈に勘違いがあるようです
  ●最大値が「3」と勘違いがあるようです
  ●実際は、x=3 のとき、最大値をとるという感じです

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回答

k=±2 は不正解です。

平方完成した式より、頂点の座標が (x,y)=(k, k²+7) であることが分かっています。与えられた二次関数は上に凸であるため、x=k のとき最大値 y=-k²+7 を取ります。問題文から、x=3 のとき最大値を取ることが分かっているため、k=3 です。

あなたが計算した式は、最大値が y=3 となるような k を求めようとしているようです。「x=3 のとき最大値を取ること」と「最大値が y=3であること」の違いに注意してください。

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