Question

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代数幾何学について質問です。
kを固定された代数閉体、𝔸ⁿを各成分をkに持つaffine空間でザリスキ位相が入ってるとし、準affine多様体X⊂𝔸ⁿに対してそのclosure Cl(X)に対してdimX=dimCl(X)となることは認めることとします。

この時、k上の射影空間ℙⁿ上に準射影多様体X⊂ℙⁿがある時、そのclosureをCl(X)とするとdimX=dimCl(X)が成り立つことを証明する際、Xのaffine coneを𝓒(X)と表した時、dimX=dim𝓒(X)+1=dimCl(𝓒(X))+1=dim𝓒(Cl(X))+1=dimCl(X) となり示せたらいいなと考えました。

しかし、𝓒(Cl(X))=Cl(𝓒(X))が成り立つかどうかという部分は、affine空間上のザリスキ位相と射影空間上のザリスキ位相の入れ方が違う為、パッと見明らかではないと感じました。そこで質問なのですが、射影空間上の代数的集合は、そのaffine coneを考えるとaffine空間上の代数的になりますでしょうか？

clearに投稿するには少し専門的すぎる質問かと思われますが、分かる方がいらっしゃれば回答よろしくお願いします。

代数 幾何 代数幾何 射影多様体 affine cone 閉包

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

jun

代数は専門でないので確証はないですが
見たところaffine coneは定義から代数的集合ではないですか？

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affine coneの定義として同値な別の定義を採用している資料を見ていました。そのコメントのおかげでその事に気がつけました！ありがとうございました。