Question

なず

重積分の変数変換後の領域の形について少し疑問があります。

今日問題をやって気づいたんですが、変数変換後の領域の形って正確には変換前の不等式に新しい変数を代入して、変換後の変数の不等式に直して、また新変数の座標系のグラフを書いてから(参照：画像一枚目の左のグラフ)その領域を見て積分するようです。今までほぼいつも実際間違ったやり方で元のグラフを見て積分してきたような気がします。それでもあってたのは、変数変換が大体極座標のものだったのだと思います。この場合では元のグラフを見ても計算上に大丈夫なようです。ということは極座標の変数変換なら領域は同じなんですか？また何かよく見る同じになる場合はありますか？

そして他の積分の本を見て(覚えてる限り)初めて極座標の変数変換後実際に領域の形(参照：画像二枚目の左のグラフ)がどうなったのかを知りました。でも元のグラフに新しい極座標の座標系(参照：赤い矢印たち)を書き添えても領域の形は全然そのまんま変わらなくて、実際いつもそれを見てθとrの区間を決めますよね。なんでですか？ヤコビアンがrっていうきれいな形しているのと関係あるような気がしますけどそれ以上はわからないです。さらに言えば、立体の極座標の変数変換も領域はそのまんまなので、その物体の形を想像してそのまま区間書いて積分できますね。(でないと大変そう？)でもヤコビアンの値がr²sinθでそんなにきれいじゃないんですけど…。

そして、画像一枚目のような中心が原点じゃない円なら、ちょっと違う変数変換x-1=rcosθでもっと簡単に計算できちゃう場合がありますね。(この問題は積分の関数がちょうどよくないので使えないですけど。)この変数変換の場合は、領域の形は変わらないで、でも座標系が平行移動して位置は変わりましたね。ですが、ヤコビアンは同じr。多分ヤコビアンがこの値なら領域は変わらないですけど平行移動か回転しちゃう可能性があるってことでしょうか。

また、画像二枚目の変数変換も、元のグラフにuとvの座標系を書き添えるとそれっぽくなって直接それを見て積分できそうですが、尺が変わったようなのでそのままでは結果がちょっと違うようです。でもヤコビアンは-1/2で特に変数の入ってないなのにね。そして尺を照らし合わせてみたら…

(文字数制限で全文は画像三枚目で)

例 3.3. ルータータgazdg の:z2二7 < 2z を求めよ.

解 極座標変換 ヶ 7cos9。ッーィsinの9 とすると, 領域リカは 9 の取り得る値の範較

が ーテ ミ <9 <一 っっ- であることはすぐわかる. 7 の取り得る値の範囲は 9 によって変化

して 図から 0 7 く2cos9 であることがわかる. したがって (?ヵの) の領域肥は万 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ーテ SS 今,0 <7く2cos9 である.

  

 

S
AA
|
SS
トう
|

にこ4
よっ
。
SS
SG
で
上

/ 間旨昌ら 時人0

る
/
パ

2
_ 8 /#     。 3
9      ー 9=テ0  |lsin 9|)d⑳

16   了              8     32
g/ (1 - sin? の9ニーニィーー

例 3.1. // Vz+y二1dzdg の:ー1 <ッッく1ー1 <ッー9く1 を求めよ.
解 zキリーも ァー9ーりとすると, は万: 1 くん1ー1 りく1 に対応する.

|                                                    y1

 

 

 

 

ル V+ 1gzdy

んTp テ みたVeTTa
1        1                 ロ          」
エ (/ ゅ) (/ eie) ーテ2 (e+T18

2
2

3

9        ー1

|

2ニニy2 ロ

重積分の変数変換後の領域の形について少し疑問
があります。

今日問題をやって気づいたんですが、変数変換後
の領域の形って正確には変換前の不等式に新しい
変数を代入して、変換後の変数の不等式に直し
で、また新変数の庫禁系のグラフを半いてかりら(人

: 画像一枚目の左のグラフ)その領域を見て積分
するようできす。今までほぼばいつも午間思ったや
り方で元のグラフを見て積分してきたような気が
します。それでもあってたのは、変数変換が大体
極座標のものだったのだと思います。この場合で
は元のグラフを見ても計算上に大丈夫なようで
す。 ということは極座標の変数変換なら領域は同
じなんですか ? また何かよく見る同じになる場合
はありますか ?

そして他の積分の本を見て(覚えてる限り)初めて
極座標の変数変換後実際に領域の形(参照 : 画像二
枚目の左のグラフ)がどうなったのかを知りまし
た。でも元のグラフに新しい極座標の座標系(参
照 : 赤い矢印たち)を書き添えても領域の形は全然
そのまんま変わらなくて、 実際いつもそれを見て@
と「の区間を決めますよね。なんでですか ? ヤコビ
アンがrっていうきれいな形しているのと関係ある
ような気がしますけどそれ以上はわからないで
す。さらに言えば、立体の極座標の変数変換も領
域はそのまんまなので、その物体の形を想像して
そのまま区間書いて積分できますね。(でないと大
変そう ? )でもヤコビアンの値がr2sinmでそんなに
きれいじゃないんですけど.…。

そして、画像一枚目のような中心が  じゃない
円なら、ちょっと違う変数変換x-1=rcos69でもっと
簡単に計算できちゃう場合がありますね。(この問
題は積分の関数がちょうどよくないので使えない
ですけど。)この変数変換の場合は、領域の形は変
わらないで、でも座標系が平行移動して位置は変
わりましたね。ですが、ヤコピアンは同じr。多分
ヤコビアンがこの値なら領域は変わらないですけ
と平行移動か回転しちゃう可能性があるってこと
でしょうか。

また、画像二枚目の変数変換も、元のグラフにu
とvの座標系を書き添えるとそれっぽくなって直接
それを見て積分できそうですが、尺が変わったよ
うなのでそのままでは結果がちょっと違うようで
す。でもヤコビアンは-1/2で特に変数の入ってな
いなのにね。そして尺を照らし合わせてみたら(参
照 : 二枚目右のグラフの元の座標系に対して原点
から1までの紙上の長さと新座標系に対してのも
の)、元の1/V2になってるようです。ちょうどよく
Y(1/(ヤコピビアン))ですね。uとvが直交するのでル
ートを取るとちょうどよくなると思うんですけ

ど、正確にはどう計算するんですか ? こうやって
不等式を新変数のものに直さなくても、尺を考慮
に入れたら元のグラフをそのまま利用してちょっ
とだけ速く計算できそうな気がして。

 

いつの間にか質問が大変長くなってしまいました
ド、よろしくお願いします。

重積分 変数変換 ヤコビアン