Question

ゲスト

1.3.4がわからないです。教えていただけると助かります

12 宿題
宿題 51.1 R" の部分空間 , MY について以下の問いに答えよ.

YロWP は の部人人骨であることを示せ.

2 =((? で|テーの ー(( 7 ) eRI1z ーー婦 に対して めUW が和人人にならな
い理由を述べよ.

3. 集合を+PニfoでiP) で定義するとき、ど7 は部分空間となるこ
とを示せ

生 アニ(ai.…-,g)gs のとき,各giで作ならこて政 を示せ.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

gößt

1.
(i)0∈V, 0∈W より 0∈V∩W
(ii)x₁, x₂∈V∩W のとき
x₁, x₂∈V であり、VはRⁿの部分空間だから
x₁+x₂∈V
同様に、x₁, x₂∈W より x₁+x₂∈W
したがって、x₁+x₂∈V∩W
(iii)x∈V∩W, k∈R のとき
x∈V であり、VはRⁿの部分空間だから
kx∈V
同様に、x∈W より kx∈W
したがって、kx∈V∩W
以上より、V∩WはRⁿの部分空間

3.
(i)0∈V, 0∈W より 0=0+0∈V+W
(ii)x₁, x₂∈V+W のとき
V+W の定義より
x₁=v₁+w₁, v₁∈V, w₁∈W
x₂=v₂+w₂, v₂∈V, w₂∈W
と表せる。V,WはRⁿの部分空間より
v₁+v₂∈V, w₁+w₂∈W
であるから、
x₁+x₂=(v₁+w₁)+(v₂+w₂)
=(v₁+v₂)+(w₁+w₂)
∈V+W
(iii)x∈V+W, k∈R のとき
V+W の定義より
x=v+w, v∈V, w∈W
と表せる。V,WはRⁿの部分空間より
kx∈V, kx∈W
であるから、
kx=k(v+w)
=kv+kw
∈V+W
以上より、V∩WはRⁿの部分空間

4.
任意のv∈Vに対して、
v=k₁a₁+k₂a₂+...+kᵢaᵢ (k₁, k₂, ..., kᵢ∈R)
と表せる
各iに対して、aᵢ∈Wより
kᵢaᵢ∈W
したがって、
v=k₁a₁+k₂a₂+...+kᵢa∈W
ゆえに V⊂W

ゲスト

ありがとうございます！

gößt

いえいえ(｀・ω・´)