數學與統計
大學

在雙曲線(x+2)(y-1)=8上,找一平行於直線2x+y=0的切線,其切點為何?

解答

這題不需要用到微積分的技巧也可以解。

先找切線方程式:令平行直線的切線方程式為2x+y=k

移項y=-2x+k
直接代入雙曲線方程式展開來
展開之後變成一個一元二次方程式:

2x²+(5-k)x+(10-2k)=0
接著因為是切線的關係,所以有一個交點

也就是說,這個一元二次方程式有一個根(重根),那麼判別式會=0

代入判別式

(5-k)²-8(10-2k)=0
可以解出k=-11或5
所以得知切線為
y=-2x-11和
y=-2x+5
接著再代回雙曲線方程式解x跟y就有答案囉

答案分別是(-4,-3)跟(0,5)

詳細的計算過程就不列出來了。

附上圖形來當參考。

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