上の□について。
∫ 1/(eˣ+e⁻ˣ)
(分母分子にeˣをかける)
= ∫ eˣ/{(eˣ)²+eˣ·e⁻ˣ}
= ∫ eˣ/(e²ˣ+1)
※ (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, aᵐ·a⁻ᵐ=aᵐ⁻ᵐ=a⁰=1
{tan⁻¹f(x)}'=f'(x)/[{f(x)}²+1]
がわかっていれば
f(x)=eˣの形だなあとわかるはずです。
eˣ=tで置換積分して解くのが一般的ですが、
まあそんなことしなくても大丈夫ですよね？
下の□について。
∫ 8/(x⁴+4)
= ∫ 8/{(x²+2x+2)(x²-2x+2)
(↑x²+4=(x²+2)²-(2x)² より因数分解)
=8·∫ {a/(x²+2x+2)}+{b/(x²-2x+2)}
(部分分数分解する)
{1/(x²+2x+2)(x²-2x+2)}
={a/(x²+2x+2)}+{b/(x²-2x+2)}
(両辺に(x²+2x+2)(x²-2x+2)をかける)
1=a(x²-2x+2)+b(x²+2x+2)
このとき虚数が出てくるのでできません。
もうちょっと右のほうまで見せてもらわないと...
