✨ 最佳解答 ✨
とりあえず(1)だけですが
(1)
Ker(f₁) ⊆ Ker(f₂) は簡単ですね。逆の包含を示します
任意の 𝒙∈Ker(f₂) に対して
ᵗ𝑨𝑨𝒙 = 𝟎
左から ᵗ𝒙 をかけると
ᵗ𝒙ᵗ𝑨𝑨𝒙 = ᵗ𝒙𝟎
||𝑨𝒙|| = 𝟎
よって、
𝑨𝒙 = 𝟎
ゆえに 𝒙∈Ker(f₁) ◻︎
(2)これはまだ考え中です⋯
𝒙が存在するなら
||𝑨𝒙||² = 𝒃•𝑨𝒙
なので 𝒃 の Im(f) への射影が 𝑨𝒙 となる必要があるんですが、それが元の連立一次方程式を満たすのかどうかがまだよく分かってないです
そういえば(2)は射影に限る必要はなかったですね
||Ax||² = b•Ax
が成り立つだけなら他にもあるので、あまり条件が絞れていないかもしれません
わわわ、丁寧にありがとうございます🙇
解を持つ条件なので拡大係数行列のランクを考えたりするのかなとも思いましたがランクを調べる手立てが見つからず。(1)を使うんですかねー
少し考えたのですが、
ᵗAAx = ᵗAb
⇔ ∀y∈ℝⁿ, ᵗyᵗAAx = ᵗyᵗAb
⇔ ∀y∈ℝⁿ, Ay•Ax = Ay•b
ですから、やっぱりbのIm(A)への射影をAxとすればよかったです
(1)との関連もありそうなんですが、いかんせんここら辺の議論(内積とか、双対空間とか)にはまだ慣れていないので、よくわからないですね
結果的には
Ker(ᵗA) = (Im(A))^⊥
なのでこれが別の方向から示せれば、と思ったのですがこれもわからず…
すいません、bのIm(A)への射影をAxにするというのはどういう意味でしょうか？
あと、Ker(A')=Im(A)^⊥が示せたらどうなるんでしょうか？(A'はAの転置)
これは
x∈Ker(A')⇔A'x=0
⇔∀y∈R^n,y'A'x=0
⇔∀y∈R^n,(Ay)'・x=0
⇔x∈Im(A)^⊥
で示せてないでしょうか？
質問が多くてすみませんm(_ _)m
bをIm(A)に射影したベクトルはAの像の元ですから、Ax とおけるということです
(1)が利用できないかなーと考えていたのですがそれでいいですね。変な考え方に走っていました
Ker(A') = Im(A)^⊥
が分かれば、任意の b∈ℝᵐ に対して
b = Ax + y (x∈ℝⁿ, y∈Ker(A'))
と直交分解できるので、
A'b = A'(Ax + y)
= A'Ax + A'y
= A'Ax
となります
私も雑に言葉を使っているところがあるのでもしかしたら一般的な用語の使い方ではないかもしれませんね…英人さんはどのような文脈で射影という言葉を使うのでしょうか？
ここでは、b∈ℝᵐ に対して
b = u + v (u∈Im(A), v∈Im(A)^⊥)
と直交分解したときの u のことを「b の Im(A) への射影」とか「b を Im(A) に射影したベクトル」などと呼んでます。私のイメージは画像のような感じで、上から光が当たったときの影に相当するので"射影"なのかなーと
なるほど、高校数学のベクトルで内積をとるときに出てくるb・cosθ的なアレですね。なるほど、直交分解した時に出てくるベクトルですか。言われてみれば射影ですね。納得しました！違う文脈というか、違う分野における違う意味の射影と言った方が正確でした。例えば射影平面や射影多様体ですね。
長々と付き合っていただきありがとうございましたm(_ _)m
そういえばそっちもありましたね。ともあれ解決してよかったです
申し訳ないんですが、携帯が古くて色々表示されないです(T_T)
(1)は解読できたんですが、(2)の考察を教えていただけないでしょうか、、