まず、せっかく似た言葉があるので、因数分解から考えてみましょう。因数分解、ないしは(数学の世界における)分解はほとんどの場合｢よりシンプルなものに分ける｣ということを意味します。たとえば、x^2-a^2=(x-a)(x+a)という式がありますけれども、これは左辺がxの二次式なのに対して、右辺は一次式の積になってるわけですね。
因数分解が｢よりシンプルなものに分ける｣と思えるのは、｢2次関数を見るよりも1次関数がふたつある方がシンプルに見えるわな｣と思えるからなわけで、とくに、因数分解ができるということは方程式の観点からすれば、解が分かること、あるいは解を見つけるためのヒントになるわけです(たとえば、三次方程式というものを同様に定めることができますが、これを二次方程式同様に一般の解の公式を考えようとするのは少し厳しいので、より簡単な方法で1次と2次の形に分解出来れば、2次の方はまだ単純な解の公式がありますから、まだ楽だろうと思えるわけです)
さて、｢じゃあ本題の素因数分解わい｣ということにふれましょう。素因数分解もやはり、なにかシンプルな形で整数を積に分けてやろうとしているわけですが、整数において最もシンプルな形、すなわち方程式を一次の方程式に分解するようなものと対応する形というのが素数になるというわけです。これは、素数を｢1と自分自身でしか割れない2以上の整数｣と定めているからなわけです。
たとえば、6を見てみますと、6=2×3という表示を持つわけですが、これは整数の世界ではもはやこれ以上の分解のしようがないんですね。あるいは素数pが与えられれば、当然に素数の定義からp=pという形の、まったくつまらない因数分解が与えられるわけです。6の場合はちょうど二次式が一次式に分解してるのに対応して、素数pの場合は一次式はそのまま一次式に分解される当たり前のケースになっています
ではそもそも、｢分解して何が嬉しいねん。ありのままの姿を愛してやれよ｣という気持ちになるわけですけれども。そこの部分についてもうひとつ言及したいとおもいます。方程式における因数分解のひとつのメリットは｢解がわかる｣ということでした。では、素因数分解の理屈は何が嬉しいのでしょうか？
そのひとつの答えは、やはり｢整数を知るなら、最低限素数のことを知りたくなる｣という部分になるのだと思います。｢知ったことになる｣というのは色々あって、たとえば方程式の分解という観点では、｢一次式ax+b=0が見えれば、まあ解はx=-b/aだろう｣と分かった気になれるわけですけれども、整数であれば、色々な整数が、｢これこれをなになにで割ったあまりはいくつ｣｢あれをこれ乗して、なになにで割るとあまりがいくつ｣みたいな計算をへて様々なことが分かったりするわけですが、そこで素数は大きな指標のひとつになるんですね。更に、与えられた素数がほげほげという性質を満たせばこんな事がわかるよ、ということも多くあり、｢素数のことをとりあえず理解しよう！｣というひとつの動機づけにもなるわけです
難しいけどありがとうございます