Question

Y

数学　ベクトル
画像の問題の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

例題12
Oを原点とする空間上の3点 A, B, Cが
|||=||=||=2, OA・OB=2,OBOC = 1 を満たして
いるとき,次の(1),(2)の問いに答えよ。
(1) 内積OA OC がとり得る値の範囲を求めよ。
(1)内積
(2) 四面体OABCの体積の最大値を求めよ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

OAとOBの間の角をαとすると、
OA・OB＝|OA|・|OB|・cosα
→　2＝2・2・cosα
→　cosα＝1/2

OBとOCの間の角をβとすると、
OB・OC＝|OB|・|OC|・cosβ
→　4/3＝2・2・cosβ
→　cosβ＝1/3

OAとOCの間の角は無条件で0～360度になるわけではなく、上記の条件と|OC|＝2という制限が付きます。

O,A,B,Cは三角錐のような形になるので、OAとOCの間の角をθとすると、
β-α≦θ≦β+α　の関係が成り立ちます。さらに
cosα＞cosβ　から、β＞αとなるので、
cos(β-α)≧cosθ≧cos(β+α)
加法定理から、
cos(β-α)＝cosβcosα+sinβsinα
　＝1/2・1/3+2√2/3・√3/2
　＝1/6+√6/3
cos(β+α)＝cosβcosα-sinβsinα
　＝1/6-√6/3

OA・OC＝|OA|・|OC|・cosθ　
　＝4・cosθ　から
4・(√6/3-1/6)≦4・cosθ≦4・(√6/3+1/6)
→　2/3-4√6/3≦OA・OC≦2/3+4√6/3

Y

回答ありがとうございます！
テキストの解き方よりも分かりやすくて助かりました！